É dada uma chapa de alumínio de largura 70 mm e 3 mm de espessura inicial que deve ser laminada para uma espessura final de 2,5 \mathrm{~mm}. Calcado nos dados do laminador a seguir, pede-se para determinar:
  1. A rotação do laminador;

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que temos e o que o problema pede):
  • Uma chapa de alumínio com largura 70\\ \mathrm{mm} e espessura inicial t_i = 3\\ \mathrm{mm} será laminada até espessura final t_f = 2,5\\ \mathrm{mm}. (Esses dados descrevem o processo, mas para a rotação do laminador só precisamos da transmissão e do diâmetro dos rolos.)
  • Diâmetro dos rolos de trabalho: \phi_{rolo}=69\\ \mathrm{mm} e largura dos rolos 160\\ \mathrm{mm}. (Vou usar \phi_{rolo} para o diâmetro que define a velocidade periférica.)
  • Motor AC: N_{motor}=1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Transmissões e seus diâmetros (dados da figura):
    • Transmissão por polias: diâmetro maior =250\\ \mathrm{mm}, diâmetro menor =60\\ \mathrm{mm}.
    • Transmissão por correias (ou correntes): diâmetro maior =190\\ \mathrm{mm}, diâmetro menor =55\\ \mathrm{mm}.
    • Transmissão por engrenagens cilíndricas (dentes helicoidais): diâmetro maior =175\\ \mathrm{mm}, diâmetro menor =48\\ \mathrm{mm}.
  • O que o problema pede neste item: determinar a rotação do laminador (isto é, a rotação dos rolos de trabalho) a partir do motor e das sucessivas transmissões.
Observação importante (assunções que vou usar):
  • Vou assumir que as peças indicadas com diâmetros “maior” e “menor” estão arranjadas na sequência mostrada na figura de modo que o motor, com a menor polia de 60\\ \mathrm{mm}, aciona a polia de 250\\ \mathrm{mm} (redução), essa mesma árvore tem a polia/sprocket de 190\\ \mathrm{mm} que aciona a de 55\\ \mathrm{mm} (aumento), e em seguida a árvore seguinte tem a engrenagem de 175\\ \mathrm{mm} que acopla a engrenagem de 48\\ \mathrm{mm} ligada aos rolos. Essa interpretação é coerente com a sequência mostrada na figura e é a hipótese padrão. Também assumo ausência de deslizamento em correias/correntes e engrenagens perfeitas (velocidades proporcionais aos diâmetros de contato).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula rápida”):
  • Para polias, correias, correntes e engrenagens em contato rígido (sem escorregamento), a velocidade linear na circunferência de contato é igual para os dois elementos acoplados. A velocidade linear v é relacionada à rotação N e ao diâmetro D por:
v=\omega\cdot\frac{D}{2} \quad\text{com}\quad \omega=\frac{2\pi N}{60}.
  • Igualando as velocidades lineares dos dois elementos (por exemplo, polia 1 e polia 2) obtemos a relação simples entre rotações:
N_1 D_1 = N_2 D_2.
  • Dessa relação segue a fórmula prática usada para propagação de rotações:
N_2 = N_1 \frac{D_1}{D_2}.
  • Interpretação: se a peça motorista tem diâmetro menor que a movida, a rotação do movido será menor (redução); se a motorista tem diâmetro maior, a rotação do movido será maior (aumento).
  • Vamos aplicar essa fórmula sucessivamente para cada etapa da transmissão, sempre identificando corretamente D_{motor} (ou D_{driver}) e D_{driven}.

Passo 3

Cálculo passo a passo das rotações em cada estágio da transmissão (sem pular contas):
3.1. Primeira etapa — transmissão por polias (motor → primeira árvore):
  • Motor: N_{motor}=1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Polia do motor (menor): D_{motor\_polia}=60\\ \mathrm{mm}.
  • Polia conduzida (maior): D_{250}=250\\ \mathrm{mm}.
  • Aplicando N_2 = N_1 \dfrac{D_1}{D_2}:
N_{1} = N_{motor}\frac{D_{motor\_polia}}{D_{250}}
N_{1} = 1750\cdot\frac{60}{250}.
Faço as contas passo a passo:
1750\cdot 60 = 105000,
\frac{105000}{250} = 420.
Portanto
N_{1} = 420\\ \mathrm{rpm}.
3.2. Segunda etapa — transmissão por correias/correntes (mesma árvore com D_{190} → próxima árvore com D_{55}):
  • Nesta etapa a árvore que gira a N_{1}=420\\ \mathrm{rpm} tem a peça de D_{190}=190\\ \mathrm{mm} (driver) que aciona a peça de D_{55}=55\\ \mathrm{mm} (driven). Aplico a mesma fórmula:
N_{2} = N_{1}\frac{D_{190}}{D_{55}} = 420\cdot\frac{190}{55}.
Calculo:
420\cdot 190 = 79800,
\frac{79800}{55} = 1450,909090\ldots
Arredondando razoavelmente (vou manter 4 casas decimais para precisão intermediária):
N_{2} \approx 1450,9091\\ \mathrm{rpm}.
3.3. Terceira etapa — transmissão por engrenagens (árvore com D_{175} → engrenagem nos rolos D_{48}):
  • A árvore que gira a N_{2} tem a engrenagem com D_{175}=175\\ \mathrm{mm} que aciona a engrenagem de D_{48}=48\\ \mathrm{mm} montada no eixo dos rolos. Aplicando a fórmula:
N_{rolo} = N_{2}\frac{D_{175}}{D_{48}} = 1450,9091\cdot\frac{175}{48}.
Calculo:
1450,9091\cdot 175 = 253909,0909\\ (\text{produto}),
\frac{253909,0909}{48} = 5290,60606\ldots
Portanto
N_{rolo} \approx 5290,6061\\ \mathrm{rpm}.
3.4. Observação física (conexão com a chapa): a rotação dos rolos de \approx 5290{,}6\\ \mathrm{rpm} corresponde a uma velocidade periférica (velocidade linear da superfície do rolo) dada por
v = \pi\cdot D_{rolo}\cdot\frac{N_{rolo}}{60}.
Se alguém quiser, posso calcular v em m/s; com D_{rolo}=69\\ \mathrm{mm}=0{,}069\\ \mathrm{m} e N_{rolo}=5290{,}6061\\ \mathrm{rpm} teremos aproximadamente v\approx 19{,}12\\ \mathrm{m/s} (apenas para referência — esse passo não era pedido mas ajuda a entender o que essa rotação significa na prática).

Resposta

\,N_{laminador}\approx 5290{,}61\\ \mathrm{rpm}

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