É dada uma chapa de alumínio de largura 70 mm e 3 mm de espessura inicial que deve ser laminada para uma espessura final de 2,5 \mathrm{~mm}. Calcado nos dados do laminador a seguir, pede-se para determinar:
3. Força disponível para realizar a laminação

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a força disponível para realizar a laminação (isto é, a força que o sistema de transmissão + motor consegue fornecer no ponto de contato com a chapa).\n
Dados fornecidos (listei exatamente o que vem da figura / enunciado):\n
  • Espessura inicial da chapa: h_0=3{,}0\\ \mathrm{mm}.\n
  • Espessura final: h_f=2{,}5\\ \mathrm{mm}. (estes são dados do processo, mas não serão usados diretamente para calcular a força disponível a partir do motor)\n
  • Largura da chapa: b=70\\ \mathrm{mm}. (pode ser usada se quiséssemos força por largura, mas o enunciado pede a força disponível)\n
  • Rolos de laminação: diâmetro \varphi_{\text{rolo}}=69\\ \mathrm{mm}, logo raio R=\dfrac{69}{2}=34{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0345\\ \mathrm{m}.\n
  • Motor: potência 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}, rotação n_{\text{mot}}=1750\\ \mathrm{rpm}.\n
  • Transmissões (conforme figura), as relações são dadas por diâmetros:\n
    • Polias: maior 250\\ \mathrm{mm}, menor 60\\ \mathrm{mm}.\n
    • Correntes (cadeia/sprockets): maior 190\\ \mathrm{mm}, menor 55\\ \mathrm{mm}.\n
    • Engrenagens helicoidais: maior 175\\ \mathrm{mm}, menor 48\\ \mathrm{mm}.\n
      Observação necessária: a figura sugere que o motor aciona uma pequena polia que move uma maior (redução), depois uma pequena da etapa seguinte que aciona uma maior (nova redução) e assim por diante. Vou usar essa sequência (motor → polias 60→250 → corrente 55→190 → engrenagens 48→175 → rolos).\n
      O objetivo prático desta etapa: transformar a potência/rotação do motor em torque disponível no rolo e daí em força tangencial na periferia; se quisermos a força normal de laminação usamos uma hipótese sobre o coeficiente de atrito \mu (explico e escolho um valor típico).

Passo 2

Como passar de potência e rotação do motor para torque no motor: a relação entre potência P, torque T e velocidade angular \omega é
P=T\cdot\omega,
onde \omega é em \mathrm{rad/s}. Primeiro converto a rotação do motor para \omega:
\omega_{\text{mot}}=2\pi\frac{n_{\text{mot}}}{60}=2\pi\frac{1750}{60}=183{,}2596\\ \mathrm{rad/s}.
A potência do motor é P=746\\ \mathrm{W}. Logo o torque no eixo do motor é
T_{\text{mot}}=\frac{P}{\omega_{\text{mot}}}=\frac{746}{183{,}2596}=4{,}071\\ \mathrm{N\cdot m}.
Expliquei: T_{\text{mot}} é o torque que o motor fornece antes das reduções.

Passo 3

Calcular as rotações ao longo das etapas de transmissão (assumindo transmissão sem escorregamento e que a polia/engrenagem menor está no eixo de entrada e a maior no eixo de saída em cada estágio). Regra usada: para duas rodas ligadas pela correia/corrente/engrenagem,
n_2=n_1\cdot\frac{d_1}{d_2},
onde d_1 é o diâmetro da roda no lado de entrada e d_2 do lado de saída.\n
  1. Estágio polias: motor (pequena) d_{\text{mot}}=60\\ \mathrm{mm} → grande 250\\ \mathrm{mm}. Então
n_1=n_{\text{mot}}\cdot\frac{60}{250}=1750\cdot\frac{60}{250}=1750\cdot0{,}24=420\\ \mathrm{rpm}.\n
  1. Estágio corrente: supondo que a polia de 60\\ \mathrm{mm} do passo anterior (ou eixo associado) aciona a menor da cadeia 55\\ \mathrm{mm} e esta aciona a maior 190\\ \mathrm{mm} (sequência pequena→grande para redução), então
n_2=n_1\cdot\frac{55}{190}=420\cdot\frac{55}{190}=420\cdot0{,}2894737=121{,}5789\\ \mathrm{rpm}.\n
  1. Estágio engrenagens helicoidais: pequena 48\\ \mathrm{mm} → grande 175\\ \mathrm{mm}:
n_{\text{rolo}}=n_2\cdot\frac{48}{175}=121{,}5789\cdot\frac{48}{175}=121{,}5789\cdot0{,}2742857=33{,}3333\\ \mathrm{rpm}.
Observação: obtivemos um valor arredondado agradável 33{,}3333\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Relação torque/velocidade nas reduções: em um sistema ideal (sem perdas), o produto T\cdot\omega é constante (potência constante). Assim, a razão entre torques é inversa da razão entre rotações:
\frac{T_{\text{rolo}}}{T_{\text{mot}}}=\frac{n_{\text{mot}}}{n_{\text{rolo}}}.
Logo o torque no rolo vale
T_{\text{rolo}}=T_{\text{mot}}\cdot\frac{n_{\text{mot}}}{n_{\text{rolo}}}=4{,}071\cdot\frac{1750}{33{,}3333}.
Calculo a razão:
\frac{1750}{33{,}3333}=52{,}5.
Portanto
T_{\text{rolo}}=4{,}071\cdot52{,}5=213{,}789\\ \mathrm{N\cdot m}\simeq213{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Força tangencial disponível na periferia do rolo: a relação entre torque na árvore do rolo e força tangencial na periferia é
T_{\text{rolo}}=F_t\cdot R,
onde R é o raio do rolo. Assim
F_t=\frac{T_{\text{rolo}}}{R}=\frac{213{,}789}{0{,}0345}=6199{,}7\\ \mathrm{N}\simeq6{,}20\\ \mathrm{kN}.
Interpretação didática: F_t é a força de tração tangencial que o conjunto rolo+transmissão pode aplicar na superfície da chapa (força que “puxa”/desliza a chapa).

Passo 6

Como obter a força normal de laminação (aquela que efetivamente comprime a chapa no banho de contato)? Relação prática usada em laminação fria (modelo simplificado): a força tangencial disponível F_t provém do atrito na interface rolo-chapa; esse atrito é proporcional à força normal N (pressão total de contato) via o coeficiente de atrito \mu:
F_t=\mu\;N \quad\Rightarrow\quad N=\frac{F_t}{\mu}.
Aqui precisamos de uma hipótese para \mu. Valores típicos para laminação de alumínio podem variar; exemplos práticos:\n
  • Lubrificado: \mu\approx0{,}08 a 0{,}12.\n
  • Seco (sem lubrificação): \mu\approx0{,}12 a 0{,}18.\n
    Vou adotar um valor razoável e conservador para laminação com lubrificação moderada: \mu=0{,}12. (se preferir outro valor, a fórmula acima mostra como recalcular imediatamente).
Usando \mu=0{,}12,
N=\frac{6199{,}7}{0{,}12}=51\,664{,}2\\ \mathrm{N}\simeq51{,}66\\ \mathrm{kN}.
Também para referência rápida, se alguém quiser ver sensibilidade ao atrito:\n
  • para \mu=0{,}15 (superfícies um pouco mais “pegajosas”): N\simeq41{,}33\\ \mathrm{kN};\n
  • para \mu=0{,}08 (melhor lubrificação): N\simeq77{,}50\\ \mathrm{kN}.

Resposta

Força tangencial disponível na periferia do rolo: 6199{,}7\\ \mathrm{N}
Força normal disponível para laminação (assumindo \mu=0{,}12): 51\,664{,}2\\ \mathrm{N}

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