Dada a circunferência x^2+y^2-16 x-21=0 e a reta x-y+5=0, determine a coordenada do ponto de interseção entre a reta e a circunferência, sabendo que elas se encontram em um único ponto.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o ponto de interseção entre a reta e a circunferência, sabendo (incorretamente) que há apenas um ponto. O conteúdo é interseção de reta com circunferência, e vamos precisar usar quadrado completo e substituição.

Passo 2

Primeiro a gente coloca a circunferência na forma padrão completando quadrados: da equação x^2 + y^2 -16x -21=0 temos
(x-8)^2 -64 + y^2 = 21
Logo
(x-8)^2 + y^2 = 85
Então o centro é C=(8,0) e o raio é r=raiz85.

Passo 3

Agora escrevemos a reta x - y +5 = 0 como y = x + 5 e substituímos na circunferência:
x^2 + (x+5)^2 -16x -21 = 0
Desenvolvendo:
2x^2 -6x +4 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática dividindo tudo por 2:
x^2 -3x +2 = 0
As raízes são
x = 1 ou x = 2
Logo os pontos de interseção são (1,6) e (2,7).

Passo 5

Concluímos que a reta, na verdade, cruza a circunferência em dois pontos. Portanto o dado de que haveria um único ponto de encontro está inconsistente com as contas.

Resposta

Não existe um único ponto de interseção; na verdade os pontos de interseção são (1,6) e (2,7).

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