Determine a transformada de Laplace e a região de convergência (RC) para cada um dos seguintes sinais:
x(t)=8 cos (-3 t) cdot u(t)+e^-3 t sen(4 t+0,5) cdot u(-t)

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformada de Laplace e a região de convergência (RC) de dois termos: um termo definido para t≥0 e outro para t≤0. Vamos usar definições padrão de transformada de Laplace bilateral e as condições de convergência de integrais exponenciais multiplas por funções senoidais.

Passo 2

Primeiro termo: x₁(t)=8 cos(−3t) u(t). Como cos(−3t)=cos(3t), temos x₁(t)=8 cos(3t) u(t). A transformada unilateral (ou parte positiva) é
X₁(s)=integral0^+∞8,e^-stcos(3t),dt
Usando a fórmula integral0^∞e^-stcos(ωt)dt=ss^2+ω^2, dá
X₁(s)=8cdotss^2+3^2=8ss^2+9
Para convergir precisamos de Re(s)>0.

Passo 3

Segundo termo: x₂(t)=e^{-3t},sen(4t+0{,}5),u(-t), ou seja vale só para t≤0. A transformada bilateral é
X₂(s)=integral-∞^0e^-3tsin(4t+0,5),e^-stdt=integral-∞^0e^-(s+3)tsin(4t+0,5)dt
Para organizar, usamos a identidade sin(4t+φ)=sin(4t)cosφ+cos(4t)sinφ com φ=0{,}5 e definimos α=s+3. Então
X₂(s)=cos(0,5)integral-∞^0e^-αtsin(4t)dt+sin(0,5)integral-∞^0e^-αtcos(4t)dt
Para t de −∞ a 0 valem as fórmulas
integral-∞^0e^-αtsin(ωt)dt=-ωα^2+ω^2, integral-∞^0e^-αtcos(ωt)dt=-αα^2+ω^2,
válidas se Re(α)<0 (isto é, Re(s+3)<0 ⇒ Re(s)<−3). Substituindo ω=4 e α=s+3,
X₂(s)=-4cos(0,5)(s+3)^2+16-(s+3)sin(0,5)(s+3)^2+16 =-(s+3)sin(0,5)+4cos(0,5)(s+3)^2+16
E a RC é Re(s)<−3.

Passo 4

A transformada total é a soma
X(s)=X₁(s)+X₂(s)=8ss^2+9-(s+3)sin(0,5)+4cos(0,5)(s+3)^2+16
A região de convergência de cada parcela é Re(s)>0 e Re(s)<−3. Para a soma convergir simultaneamente teríamos de satisfazer ambas, mas não existe nenhum s com Re(s)>0 e ao mesmo tempo Re(s)<−3. Portanto não há RC comum.

Passo 5

Concluímos que cada termo tem sua própria RC, mas a soma não converge em nenhum ponto do plano s.

Resposta

Para x₁(t)=8 cos(−3t) u(t):
X₁(s)=8ss^2+9,RC: Re(s)>0
Para x₂(t)=e^{-3t} sin(4t+0,5) u(−t):
X₂(s)=-(s+3)sin(0,5)+4cos(0,5)(s+3)^2+16,RC: Re(s)<-3
Somando: X(s)=X₁(s)+X₂(s), mas não existe região de convergência comum (a interseção {Re(s)>0}∩{Re(s)<−3} é vazia).

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