Determine a transformada de Laplace e a região de convergência (RC) para cada um dos seguintes sinais:
Passo 1
O enunciado pede para achar a transformada de Laplace e a região de convergência (RC) de dois termos: um termo definido para t≥0 e outro para t≤0. Vamos usar definições padrão de transformada de Laplace bilateral e as condições de convergência de integrais exponenciais multiplas por funções senoidais.
Passo 2
Primeiro termo: x₁(t)=8 cos(−3t) u(t). Como cos(−3t)=cos(3t), temos x₁(t)=8 cos(3t) u(t). A transformada unilateral (ou parte positiva) é
Usando a fórmula
, dá
Para convergir precisamos de Re(s)>0.
Passo 3
Segundo termo: x₂(t)=e^{-3t},sen(4t+0{,}5),u(-t), ou seja vale só para t≤0. A transformada bilateral é
Para organizar, usamos a identidade
com φ=0{,}5 e definimos α=s+3. Então
Para t de −∞ a 0 valem as fórmulas
válidas se Re(α)<0 (isto é, Re(s+3)<0 ⇒ Re(s)<−3). Substituindo ω=4 e α=s+3,
E a RC é Re(s)<−3.
Passo 4
A transformada total é a soma
A região de convergência de cada parcela é Re(s)>0 e Re(s)<−3. Para a soma convergir simultaneamente teríamos de satisfazer ambas, mas não existe nenhum s com Re(s)>0 e ao mesmo tempo Re(s)<−3. Portanto não há RC comum.
Passo 5
Concluímos que cada termo tem sua própria RC, mas a soma não converge em nenhum ponto do plano s.
Resposta
Para x₁(t)=8 cos(−3t) u(t):
Para x₂(t)=e^{-3t} sin(4t+0,5) u(−t):
Somando: X(s)=X₁(s)+X₂(s), mas não existe região de convergência comum (a interseção {Re(s)>0}∩{Re(s)<−3} é vazia).