1. Dada a cquação do plano \pi 2 x+3 y+z-2=0, determinar um sistema de equações paramétricas de \pi.

Passo 1

O enunciado pede um sistema de equações paramétricas do plano \pi descrito por
2x + 3y + z - 2 = 0.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos achar um ponto \mathbf{P}_0 que satisfaça a equação do plano e dois vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}=(2,3,1).

Passo 2

Para encontrar um ponto \mathbf{P}_0 no plano, atribuímos valores convenientes a duas variáveis e resolvemos a terceira. Se tomarmos y=0 e z=0, a equação fica
2x - 2 = 0,
logo x=1. Assim, podemos escolher \mathbf{P}_0 = (1,0,0).

Passo 3

O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(2,3,1). Qualquer vetor diretor \mathbf{v} no plano deve satisfazer \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Uma escolha prática é
\mathbf{v}_1 = (1,0,-2),
pois
2\cdot1 + 3\cdot0 + 1\cdot(-2) = 0.

Passo 4

De modo análogo, podemos escolher
\mathbf{v}_2 = (0,1,-3),
já que
2\cdot0 + 3\cdot1 + 1\cdot(-3) = 0.

Passo 5

A forma paramétrica do plano é
\mathbf{r}(s,t) = \mathbf{P}_0 + s\,\mathbf{v}_1 + t\,\mathbf{v}_2,
ou seja,
\mathbf{r}(s,t) = (1,0,0) + s\,(1,0,-2) + t\,(0,1,-3).

Resposta

\begin{cases} x = 1 + s,\\\ y = t,\\\ z = -2s - 3t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}

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