Dar as posições do plano \mathrm{ax}+ by +\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0 em relação ao sistema de coordenadas, nos seguintes casos:
a=0, b c d \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para descrever a posição do plano
ax + by + cz + d = 0
no espaço, quando a=0 e b, c, d\neq0.
O conteúdo usado será:
– identificar o tipo de plano quando um coeficiente é zero;
– calcular interseções com os eixos coordenados.

Passo 2

Colocando a=0 na equação do plano, obtemos
by + cz + d = 0.
Repare que x não aparece: isso significa que o plano não varia com x. Logo, ele é paralelo ao eixo x.

Passo 3

Para achar as interseções com os eixos, impomos as duas outras coordenadas iguais a zero:
– eixo x: y=0, z=0 d=0, impossível (pois d\neq0).
Portanto não há interseção com o eixo x.
– eixo y: x=0, z=0
b\,y + d = 0\quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{d}{b}.
Então o ponto de interseção é
\bigl(0,\,-\tfrac{d}{b},\,0\bigr).
– eixo z: x=0, y=0
c\,z + d = 0\quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{d}{c}.
O ponto de interseção é
\bigl(0,\,0,\,-\tfrac{d}{c}\bigr).

Passo 4

Síntese da posição:
  • O plano by+cz+d=0 é paralelo ao eixo x.
  • Não corta o eixo x.
  • Corta o eixo y em \bigl(0,\,-\tfrac{d}{b},\,0\bigr).
  • Corta o eixo z em \bigl(0,\,0,\,-\tfrac{d}{c}\bigr).

Resposta

O plano é paralelo ao eixo x, não o intercepta, intercepta o eixo y em \bigl(0,\,-\tfrac{d}{b},\,0\bigr) e o eixo z em \bigl(0,\,0,\,-\tfrac{d}{c}\bigr).

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