Dada a curva em , achar no ponto em que ;
a equação da reta normal à curva;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta normal à curva dada por , , no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a reta tangente e depois a reta normal à curva.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto na curva quando . Substituindo nas equações, temos:
Então, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas das funções , e em relação a :
Em , as derivadas são:
Então, o vetor tangente é T = (1, 2, 2) .
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrá-la, precisamos primeiro achar o vetor normal. Normalmente, no espaço tridimensional, usamos o vetor normal da derivada das componentes da curva. Porém, como estamos buscando uma reta normal, podemos usar o vetor tangente como direção para achar a normal.
No contexto das curvas em 3D, a normal pode ser associada ao vetor que representa a curva de mudança da direção da reta tangente. Porém, para simplificar, podemos assumir que a normal é perpendicular ao vetor tangente e passar pelo ponto P .
Passo 5
Para encontrar a equação da reta normal, precisamos de um vetor diretor que seja perpendicular a T . No entanto, em 3D, há infinitas possibilidades de vetores perpendiculares a T . Para definir uma reta normal única, precisaríamos de mais informações, como outra condição ou restrição.
Entretanto, se o problema pressupõe uma normal específica (como a principal normal na parametrização de uma curva suave), precisaríamos calcular a derivada segunda para obter o vetor normal principal.