Dada a curva em R^3, x=t, y=t^2, z=23 t^3, achar no ponto em que t=1;
a equação da reta normal à curva;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta normal à curva dada por x = t , y = t^2 , z = 23t^3 no ponto onde t = 1 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a reta tangente e depois a reta normal à curva.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto na curva quando t = 1 . Substituindo t nas equações, temos:
x = 1, y = 1^2 = 1, z = 23(1)^3 = 23
Então, o ponto é P(1, 1, 23) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas das funções x(t) , y(t) e z(t) em relação a t :
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 2t^2
Em t = 1 , as derivadas são:
dxdtg|t=1 = 1, dydtg|t=1 = 2, dzdtg|t=1 = 2
Então, o vetor tangente é T = (1, 2, 2) .

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrá-la, precisamos primeiro achar o vetor normal. Normalmente, no espaço tridimensional, usamos o vetor normal da derivada das componentes da curva. Porém, como estamos buscando uma reta normal, podemos usar o vetor tangente como direção para achar a normal.
No contexto das curvas em 3D, a normal pode ser associada ao vetor que representa a curva de mudança da direção da reta tangente. Porém, para simplificar, podemos assumir que a normal é perpendicular ao vetor tangente e passar pelo ponto P .

Passo 5

Para encontrar a equação da reta normal, precisamos de um vetor diretor que seja perpendicular a T . No entanto, em 3D, há infinitas possibilidades de vetores perpendiculares a T . Para definir uma reta normal única, precisaríamos de mais informações, como outra condição ou restrição.
Entretanto, se o problema pressupõe uma normal específica (como a principal normal na parametrização de uma curva suave), precisaríamos calcular a derivada segunda para obter o vetor normal principal.

Passo 6

Calculando a segunda derivada das funções:
d^2xdt^2 = 0, d^2ydt^2 = 2, d^2zdt^2 = 4t
Em t = 1 :
d^2xdt^2g|t=1 = 0, d^2ydt^2g|t=1 = 2, d^2zdt^2g|t=1 = 4
O vetor de aceleração é A = (0, 2, 4) .

Passo 7

O vetor normal principal N é obtido a partir da derivada do vetor tangente. Vamos calcular:
N = A - (A cdot T)T|T|^2
Primeiro, calculamos o produto escalar A cdot T = (0)(1) + (2)(2) + (4)(2) = 0 + 4 + 8 = 12 .
A magnitude de T é |T| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = 3 .
Então,
N = (0, 2, 4) - 129(1, 2, 2) = (0, 2, 4) - (43, 83, 83) = (-43, -23, 43)
Para simplificar, podemos usar N = (-4, -2, 4) .

Passo 8

Agora, temos o ponto [P(1, 1, \frac{2}{3})) e o vetor diretor da reta normal . A equação paramétrica da reta normal é:
Onde (s] é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto [t = 1) é dada por:
onde (s] é um parâmetro real.

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