Verifique que sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)(n+3)=112.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)(n+3)
converge para tfrac112.
O conteúdo aqui é soma de séries do tipo “telescópico”, e vamos precisar usar a técnica de frações parciais para observar o cancelamento dos termos.

Passo 2

Começamos decompondo o termo geral em frações parciais:
queremos achar constantes
Colocando tudo sobre o mesmo denominador, obtemos
Isto dá o sistema
cuja solução é .

Passo 3

Substituindo A e B de volta, fica
1(n+1)(n+2)(n+3) = 12,1(n+1)(n+2) ;-;12,1(n+2)(n+3)
Isso mostra que os termos vão se cancelar quando somarmos.

Passo 4

Somando de n=1 até n=N, temos
sumn=1^N1(n+1)(n+2)(n+3) = 12sumn=1^Nl[1(n+1)(n+2)-1(n+2)(n+3)r]
Escrevendo alguns termos, dá
12l[12cdot3-13cdot4 +13cdot4-14cdot5 +cdots +1(N+1)(N+2)-1(N+2)(N+3)r]
Quase tudo cancela, sobrando
12l(12cdot3-1(N+2)(N+3)r) = 12l(16-1(N+2)(N+3)r)

Passo 5

Agora fazemos Ntoinfty. Como tfrac1(N+2)(N+3)to0, o limite da soma é
12cdot16 = 112

Resposta

112

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