Determine o valor de sumn=1^infty log [(n+1)^2n(n+2)].

Passo 1

O enunciado pede o valor da série
sumn=1^inftylog!gl[(n+1)^2n(n+2)gr]
O conteúdo principal é usar as propriedades de logaritmo para transformar a soma em uma forma que “telescopa” (ou seja, cujos termos se cancelam em parte), e depois calcular o limite da soma parcial.

Passo 2

Usamos a propriedade
log!l(a/br)=log a-log b
e também log(a^2)=2log a. Assim o termo geral vira
log!gl[(n+1)^2n(n+2)gr] =2log(n+1)-log n-log(n+2)

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN=sumn=1^Nl[2log(n+1)-log n-log(n+2)r]
Agora agrupamos em três somas:
sumn=1^Nlog n=log(N!), sumn=1^Nlog(n+1)=logl((N+1)!r),
sumn=1^Nlog(n+2) =sumk=3^N+2log k =logl((N+2)!/2r) =log((N+2)!)-log2

Passo 4

Substituindo em SN temos
SN =2logl((N+1)!r) -log(N!) -l[log((N+2)!)-log2r]
Isso é
SN =log!l[2,(N+1)!^2N!,(N+2)!r]
Como (N+1)!=(N+1),N! e (N+2)!=(N+2)(N+1)!, o quociente interno simplifica para
2,(N+1)^2(N!)^2(N+2)(N+1)(N!)^2 =2(N+1)N+2
Logo
SN=log!l[2(N+1)N+2r]

Passo 5

Para obter a soma até o infinito, basta tomar o limite Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftylog!l[2(N+1)N+2r] =log2

Resposta

log2

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