Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da série
O conteúdo principal é usar as propriedades de logaritmo para transformar a soma em uma forma que “telescopa” (ou seja, cujos termos se cancelam em parte), e depois calcular o limite da soma parcial.
Passo 2
Usamos a propriedade
e também
. Assim o termo geral vira
Passo 3
Definimos a soma parcial
Agora agrupamos em três somas:
Passo 4
Substituindo em
temos
Isso é
Como
e
, o quociente interno simplifica para
Logo
Passo 5
Para obter a soma até o infinito, basta tomar o limite
: