Dada a curva em R^3, x=t, y=t^2, z=23 t^3, achar no ponto em que t=1;
a equação da reta tangente à curva;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a equação da reta tangente a uma curva no espaço tridimensional quando  t=1. A curva é dada pelas equações paramétricas:
x = t, y = t^2, z = 23t^3
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando  t=1. Basta substituir t=1 nas equações paramétricas:
x = 1, y = 1^2 = 1, z = 23(1)^3 = 23
Então, o ponto é (1, 1, 23).

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente, precisamos da direção dessa reta. Isso é dado pelo vetor derivada da função vetorial que define a curva. Vamos definir a função vetorial r(t):
r(t) = lang<= t, t^2, 23t^3 rang<=
A derivada de r(t) em relação a t é:
r'(t) = lang<= dxdt, dydt, dzdt rang<=
Vamos calcular cada componente.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = 1
dydt = 2t
dzdt = 23 cdot 3t^2 = 2t^2
Então,
r'(t) = lang<= 1, 2t, 2t^2 rang<=

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto t=1 para encontrar o vetor direção da reta tangente:
r'(1) = lang<= 1, 2(1), 2(1)^2 rang<= = lang<= 1, 2, 2 rang<=
Esse vetor lang<= 1, 2, 2 rang<= nos dá a direção da reta tangente.

Passo 6

Com o ponto (1, 1, 23) e o vetor direção lang<= 1, 2, 2 rang<=, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação geral de uma reta no espaço é:
r(s) = r0 + s v
Onde r0 é o ponto inicial e v é o vetor direção. Então, substituindo:
r(s) = lang<= 1, 1, 23 rang<= + s lang<= 1, 2, 2 rang<=
Isso dá as equações paramétricas da reta tangente:
x = 1 + s
y = 1 + 2s
z = 23 + 2s

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde  t=1 é:
x = 1 + s, y = 1 + 2s, z = 23 + 2s
onde  s é o parâmetro real.

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