Dada a curva em
, achar no ponto em que
;
a equação da reta tangente à curva;
a equação da reta tangente à curva;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a equação da reta tangente a uma curva no espaço tridimensional quando
. A curva é dada pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando
. Basta substituir
nas equações paramétricas:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, para achar a reta tangente, precisamos da direção dessa reta. Isso é dado pelo vetor derivada da função vetorial que define a curva. Vamos definir a função vetorial
:
A derivada de
em relação a
é:
Vamos calcular cada componente.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar o vetor direção da reta tangente:
Esse vetor
nos dá a direção da reta tangente.
Passo 6
Com o ponto
e o vetor direção
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação geral de uma reta no espaço é:
Onde
é o ponto inicial e
é o vetor direção. Então, substituindo:
Isso dá as equações paramétricas da reta tangente:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto onde
é:
onde
é o parâmetro real.