Dada uma curva C: r(t), encontre um vetor tangente , um vetor tangente unitário r^'(t) e a reta tangente de u(t) em C. Esboce a curva e a tangente.
P

Passo 1

Resumo do problema: Temos a curva paramétrica vec r(t)=[t,,t^2,,0] e o ponto P=(2,4,0). O conteúdo é derivada de vetor para obter o vetor tangente , definição de vetor tangente unitário vec r'(t) e equação paramétrica da reta tangente em vec u(t). Vamos precisar derivar componente a componente, normalizar o vetor e escrever a reta usando o ponto e a direção.

Passo 2

Derivar vec r(t) para obter o vetor tangente: derivando cada componente temos

Passo 3

Calcular o vetor tangente unitário usando a fórmula . A norma de é

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vec u(t)=vec r'(t)|vec r'(t)|

Passo 4

Determinar o parâmetro t de P=(2,4,0) igualando vec r(t)=(t,t^2,0) a (2,4,0), o que dá t=2. Então em t=2 temos

Passo 5

Escrever a reta tangente em forma paramétrica: ponto P mais direção
vec r'(2)
ou seja ell(s)=(2,4,0)+s,(1,4,0),.

Passo 6

Esboço da curva e da reta: no plano z=0 temos a parábola y=x^2. Em (2,4) a reta tangente tem inclinação 4, cortando a parábola naquele ponto.

Resposta

Vetor tangente: . Vetor tangente unitário: vec r'(t)=(1,2t,0). No ponto vec u(t)=(1,2t,0)raiz1+4t^2 (onde P): e t=2. Reta tangente: vec r'(2)=(1,4,0), isto é vec u(2)=1raiz17(1,4,0).

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