Dada uma curva
, encontre um vetor tangente , um vetor tangente unitário
e a reta tangente de
em
. Esboce a curva e a tangente.
Passo 1
Resumo do problema: Temos a curva paramétrica
e o ponto
. O conteúdo é derivada de vetor para obter o vetor tangente , definição de vetor tangente unitário
e equação paramétrica da reta tangente em
. Vamos precisar derivar componente a componente, normalizar o vetor e escrever a reta usando o ponto e a direção.
Passo 2
Derivar
para obter o vetor tangente: derivando cada componente temos
Passo 3
Calcular o vetor tangente unitário usando a fórmula . A norma de é
logo
Passo 4
Determinar o parâmetro
de
igualando
a
, o que dá
. Então em
temos
Passo 5
Escrever a reta tangente em forma paramétrica: ponto
mais direção dá
ou seja
Passo 6
Esboço da curva e da reta: no plano
temos a parábola
. Em
a reta tangente tem inclinação 4, cortando a parábola naquele ponto.
Resposta
Vetor tangente: . Vetor tangente unitário:
. No ponto
(onde
): e
. Reta tangente:
, isto é
.