Dada a curva f(t)=(1-1t,-t, t-1t), t>0. Determine a equação da reta tangente no ponto ( 1 / 2,-2,3 / 2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela função $ f(t) = \left(1 - \frac{1}{t},\ -t,\ t - \frac{1}{t}\right) $ para $ t > 0 $. O que a gente precisa encontrar é a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de $ t $ a curva passa pelo ponto dado $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $. Isso significa que vamos igualar cada componente da função $ f(t) $ a cada coordenada do ponto:
t

Passo 3

Começamos resolvendo a segunda equação, que é mais simples:
-t = -2 implies t = 2
Agora que temos $ t = 2 $, vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações.

Passo 4

Substituindo $ t = 2 $ na primeira equação:
t = 2
E na terceira equação:
1 - 12 = 12
Ambas as igualdades são verdadeiras, então confirmamos que $ t = 2 $ é o valor correto para o ponto dado.

Passo 5

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função $ f(t) $ em relação a $ t $, que nos dá a direção da tangente. Calculamos $ f’(t) $:
f(t)
Derivando cada componente:
t

Passo 6

Agora, avaliamos $ f’(t) $ no valor $ t = 2 $:
f'(t)
Esse vetor $ \left(\frac{1}{4},\ -1,\ \frac{5}{4}\right) $ é a direção da reta tangente no ponto dado.

Passo 7

Com o ponto $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $ e o vetor direção $ \left(\frac{1}{4},\ -1,\ \frac{5}{4}\right) $, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A fórmula geral é:
(12, -2, 32)
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto na reta e $ (a, b, c) $ é o vetor direção.

Resposta

A equação da reta tangente no ponto $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $ é dada por:
(12, -2, 32)

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