Dada a curva
. Determine a equação da reta tangente no ponto (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela função $ f(t) = \left(1 - \frac{1}{t},\ -t,\ t - \frac{1}{t}\right) $ para $ t > 0 $. O que a gente precisa encontrar é a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e equações paramétricas de retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de $ t $ a curva passa pelo ponto dado $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $. Isso significa que vamos igualar cada componente da função $ f(t) $ a cada coordenada do ponto:
Passo 3
Começamos resolvendo a segunda equação, que é mais simples:
Agora que temos $ t = 2 $, vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações.
Passo 4
Substituindo $ t = 2 $ na primeira equação:
E na terceira equação:
Ambas as igualdades são verdadeiras, então confirmamos que $ t = 2 $ é o valor correto para o ponto dado.
Passo 5
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função $ f(t) $ em relação a $ t $, que nos dá a direção da tangente. Calculamos $ f’(t) $:
Derivando cada componente:
Passo 6
Agora, avaliamos $ f’(t) $ no valor $ t = 2 $:
Esse vetor $ \left(\frac{1}{4},\ -1,\ \frac{5}{4}\right) $ é a direção da reta tangente no ponto dado.
Passo 7
Com o ponto $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $ e o vetor direção $ \left(\frac{1}{4},\ -1,\ \frac{5}{4}\right) $, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A fórmula geral é:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto na reta e $ (a, b, c) $ é o vetor direção.
Resposta
A equação da reta tangente no ponto $ \left(\frac{1}{2},\ -2,\ \frac{3}{2}\right) $ é dada por: