Encontre r(t) sendo:
r^prime(t)=(2 sin 2 t, cos t, 3 cos 3 t) e r(pi / 6)=(1,1,3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor função r(t) sabendo sua derivada r'(t)=(2sin2t,,cos t,,3cos3t) e que rl(pi/6r)=(1,1,3). O conteúdo é integração de funções vetoriais: vamos integrar cada componente e depois usar a condição inicial para achar as constantes.

Passo 2

Para integrar componente a componente, lembramos que a integral de um vetor é o vetor de integrais. Assim, fazemos:
integral2sin2t,dt=-cos2t+C1, integralcos t,dt=sin t+C2, integral3cos3t,dt=sin3t+C3

Passo 3

Portanto, a solução geral é r(t)=(-cos2t+C1,,sin t+C2,,sin3t+C3). Agora aplicamos a condição inicial: quando t=pi/6, temos
-cosl(2cdottfracpi6r)+C1=1, sinl(tfracpi6r)+C2=1, sinl(3cdottfracpi6r)+C3=3

Passo 4

Calculando as funções trigonométricas: cos(pi/3)=1/2, sin(pi/6)=1/2, sin(pi/2)=1. Substituindo,
-tfrac12+C1=1implies C1=tfrac32, tfrac12+C2=1implies C2=tfrac12, 1+C3=3implies C3=2

Passo 5

Com isso, a expressão final de r(t) fica completamente determinada.

Resposta

r(t)=l(-cos2t+tfrac32, sin t+tfrac12, sin3t+2r)

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