Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a curvatura de uma curva definida por $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $ nos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os valores de $ t $ correspondentes a cada ponto dado. Observando a curva $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $, percebemos que a primeira coordenada é simplesmente $ t $. Então, para o ponto , temos $ t = \frac{\pi}{4} $, e para , $ t = \frac{\pi}{6} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(t) $, que é $ f’(t) $. Calculando cada componente:
Essa primeira derivada representa a velocidade da curva.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(t) $:
A segunda derivada está relacionada à aceleração da curva.
Passo 5
Com $ f’(t) $ e $ f’’(t) $ em mãos, vamos usar a fórmula da curvatura $ \kappa(t) $:
Aqui, $ \times $ significa o produto vetorial, e $ | \cdot | $ representa o módulo (ou norma) do vetor.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial $ f’(t) \times f’’(t) $:
Calculando o determinante, temos:
f'(t) times f''(t) = i & j & k 1 & -2sin(t) & 2cos(t) 0 & -2cos(t) & -2sin(t)