Dada a curva f(t)=(t, 2 cos (t), 2 sen(t))
Calcule curvatura f, nos pontos (pi4, raiz2, raiz2) e (pi6, raiz3, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a curvatura de uma curva definida por $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $ nos pontos f(t) = (t, 2 cos(t), 2 sin(t)) e (pi4, raiz2, raiz2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os valores de $ t $ correspondentes a cada ponto dado. Observando a curva $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $, percebemos que a primeira coordenada é simplesmente $ t $. Então, para o ponto t , temos $ t = \frac{\pi}{4} $, e para f(t) = (t, 2 cos(t), 2 sin(t)) , $ t = \frac{\pi}{6} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(t) $, que é $ f’(t) $. Calculando cada componente:
f(t)
Essa primeira derivada representa a velocidade da curva.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(t) $:
f''(t)
A segunda derivada está relacionada à aceleração da curva.

Passo 5

Com $ f’(t) $ e $ f’’(t) $ em mãos, vamos usar a fórmula da curvatura $ \kappa(t) $:
f'(t)
Aqui, $ \times $ significa o produto vetorial, e $ | \cdot | $ representa o módulo (ou norma) do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial $ f’(t) \times f’’(t) $:
f'(t) times f''(t)
Calculando o determinante, temos:
f'(t) times f''(t) = i & j & k 1 & -2sin(t) & 2cos(t) 0 & -2cos(t) & -2sin(t)
Simplificando:
i cdot [(-2sin(t))(-2sin(t)) - (2cos(t))(-2cos(t))] - j cdot [1 cdot (-2sin(t)) - (2cos(t)) cdot 0] + k cdot [1 cdot (-2cos(t)) - (-2sin(t)) cdot 0]
Usando a identidade $ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $:
i cdot (4sin^2(t) + 4cos^2(t)) - j cdot (-2sin(t)) + k cdot (-2cos(t))
Então, $ f’(t) \times f’’(t) = (4, 2\sin(t), -2\cos(t)) $.

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| f'(t) times f''(t) | = raiz4^2 + (2sin(t))^2 + (-2cos(t))^2 = raiz16 + 4sin^2(t) + 4cos^2(t)
Novamente, usando $ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $:
sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Passo 8

Vamos agora calcular o módulo de $ f’(t) $:
f'(t)
Portanto, $ | f’(t) |^3 = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5} $.

Passo 9

Finalmente, podemos calcular a curvatura $ \kappa(t) $:
kappa(t)

Resposta

A curvatura da curva nos pontos (pi4, raiz2, raiz2) e (pi6, raiz3, 1) é 25.

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