Determine o limite (se existir)
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2(x^2+y^2)+1-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolve limites em várias variáveis e manipulação algébrica de expressões racionais.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão original de forma a facilitar a avaliação do limite. Temos a função
f(x,y)=x^2+y^2l(x^2+y^2r)+1-1
Para simplificar, usamos um denominador comum e fazemos a subtração no numerador:
Aplicando a operação de subtração no numerador:
f(x,y)=x^2+y^2 - l(x^2+y^2+1r)x^2+y^2+1 =-1x^2+y^2+1
Agora a função está escrita de forma mais simples.

Passo 3

Com a expressão simplificada, avaliamos o limite quando (x,y)to(0,0). Como x^2+y^2to0, o denominador x^2+y^2+1to1. Portanto:
O limite é dado por
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)gl(-1x^2+y^2+1gr)=-1

Resposta

-1

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