Dada a curva f(t)=(t, 2 cos (t), 2 sen(t))
Encontre as equações do plano normal e do plano osculador à curva f no ponto t= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para achar o plano normal e o plano osculador de uma curva no ponto t=π/2. O conteúdo envolvido é o de quadro de Frenet: vamos precisar de f’(t) para o vetor tangente, f’’(t) para construir o binormal, e então usar esses vetores como normais dos planos.

Passo 2

Calcule f’(t) e f’’(t). Temos f(t)=(t,2cos ,2sen ), então
f'(t)=l(1,-2sin(t),2cos(t)r), f''(t)=l(0,-2cos(t),-2sin(t)r)

Passo 3

Avalie em t=π/2:
f'(tfracpi2)=(1,-2cdot1,2cdot0)=(1,-2,0), f''(tfracpi2)=(0,-2cdot0,-2cdot1)=(0,0,-2)

Passo 4

Para o plano normal, o vetor normal ao plano é o vetor tangente f’(π/2). Seja X=(x,y,z) e r₀=f(π/2)=(π/2,0,2). A equação é
f'(tfracpi2)cdotl(X-r₀r)=0
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(1,-2,0)cdotl(x-tfracpi2,y-0,z-2r)=0
que resulta em x-\tfrac{\pi}{2}-2y=0, ou seja
x-2y-tfracpi2=0

Passo 5

Para o plano osculador, o vetor normal ao plano é o binormal B=f’×f’’. Calcule em t=π/2:
B=(1,-2,0)times(0,0,-2)=(4,2,0)

Passo 6

A equação do plano osculador é B\cdot(X-r₀)=0, ou seja
(4,2,0)cdotl(x-tfracpi2,y,z-2r)=0
que leva a 4(x-π/2)+2y=0, isto é
2x+y-pi=0

Resposta

Plano normal: x-2y-tfracpi2=0. Plano osculador: 2x+y-pi=0.

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