Dada a curva
Encontre as equações do plano normal e do plano osculador à curva
no ponto
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Encontre as equações do plano normal e do plano osculador à curva
Passo 1
O enunciado pede para achar o plano normal e o plano osculador de uma curva no ponto t=π/2. O conteúdo envolvido é o de quadro de Frenet: vamos precisar de f’(t) para o vetor tangente, f’’(t) para construir o binormal, e então usar esses vetores como normais dos planos.
Passo 2
Calcule f’(t) e f’’(t). Temos f(t)=(t,2cos ,2sen ), então
Passo 3
Avalie em t=π/2:
Passo 4
Para o plano normal, o vetor normal ao plano é o vetor tangente f’(π/2). Seja X=(x,y,z) e r₀=f(π/2)=(π/2,0,2). A equação é
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que resulta em x-\tfrac{\pi}{2}-2y=0, ou seja
Passo 5
Para o plano osculador, o vetor normal ao plano é o binormal B=f’×f’’. Calcule em t=π/2:
Passo 6
A equação do plano osculador é B\cdot(X-r₀)=0, ou seja
que leva a 4(x-π/2)+2y=0, isto é
Resposta
Plano normal:
. Plano osculador:
.