Usando a Definição de contiunidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
(i) Existência do limite de
em
: ou seja,
, digamos
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em
; verifique as seguintes regras: suponha que
e
são contínuas em
, então:
(a) a soma das funções também é contínua em
;
(b) o produto das funções também é contínua em
;
© a razão entre as funções também é contínua em
, desde que a função do denoinador não se anule em
;
(i) Existência do limite de
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em
(a) a soma das funções também é contínua em
(b) o produto das funções também é contínua em
© a razão entre as funções também é contínua em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de continuidade, que se f e g são contínuas em a então f+g, f·g e f/g (quando g(a)≠0) também são contínuas em a. Vamos usar que continuidade em a significa:
(i) existe e
,
(ii) e
.
(i) existe
(ii)
Passo 2
Para a soma, aplicamos a propriedade de limite da soma:
Logo existe o limite de
em a, e
Como o valor do limite coincide com
, concluímos que
é contínua em a.
Passo 3
Para o produto, usamos a propriedade de limite do produto:
E
Como o limite coincide com o valor da função em a,
é contínua em a.
Passo 4
Para a razão, primeiro precisamos de
. Então vale a lei do limite de quociente:
E
Como o limite existe e coincide com o valor da função em a, concluímos que
é contínua em a, desde que
.
Resposta
As três propriedades estão verificadas: f+g, f·g e f/g (com g(a)≠0) são contínuas em a.