Usando a Definição de contiunidade: uma função f(x) é contínua em a, se, e somente se duas condições se verificam:
(i) Existência do limite de f(x) em a : ou seja, exists lim x a f(x), digamos L
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em a: L=f(a); verifique as seguintes regras: suponha que f(x) e g(x) são contínuas em a, então:
(a) a soma das funções também é contínua em a;
(b) o produto das funções também é contínua em a;
© a razão entre as funções também é contínua em a, desde que a função do denoinador não se anule em a;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de continuidade, que se f e g são contínuas em a então f+g, f·g e f/g (quando g(a)≠0) também são contínuas em a. Vamos usar que continuidade em a significa:
(i) existe limxto af(x) e limxto ag(x),
(ii) limxto af(x)=f(a) e limxto ag(x)=g(a).

Passo 2

Para a soma, aplicamos a propriedade de limite da soma:
limxto al(f(x)+g(x)r)=limxto af(x)+limxto ag(x)=f(a)+g(a)
Logo existe o limite de f+g em a, e
(f+g)(a)=f(a)+g(a)
Como o valor do limite coincide com (f+g)(a), concluímos que f+g é contínua em a.

Passo 3

Para o produto, usamos a propriedade de limite do produto:
limxto al(f(x)cdot g(x)r)=limxto af(x)cdotlimxto ag(x)=f(a)cdot g(a)
E
(fcdot g)(a)=f(a)cdot g(a)
Como o limite coincide com o valor da função em a, fcdot g é contínua em a.

Passo 4

Para a razão, primeiro precisamos de g(a)neq 0. Então vale a lei do limite de quociente:
limxto af(x)g(x)=limxto af(x)limxto ag(x)=f(a)g(a)
E
gl(fggr)(a)=f(a)g(a)
Como o limite existe e coincide com o valor da função em a, concluímos que f/g é contínua em a, desde que g(a)neq0.

Resposta

As três propriedades estão verificadas: f+g, f·g e f/g (com g(a)≠0) são contínuas em a.

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