Dada a curva hélice circular gamma(t)=(cos t, sen t, t), determine:
(a) Os vetores normal e binormal.
(b) As equações do plano normal e do plano osculador.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente analisar a hélice circular
gamma(t)=(cos t,;sin t,;t)
e pedir:
(a) o vetor normal N(t) e o binormal B(t),
(b) as equações do plano normal e do plano osculador.
Isso é Geometria Diferencial, usando o sistema de Frenet–Serret. Pra resolver, vamos precisar de derivadas de gamma, normalizar vetores, produto escalar (pra plano) e produto vetorial (pra binormal).

Passo 2

Primeiro achamos o vetor tangente
gamma'(t)=(-sin t,;cos t,;1),
a norma é
|gamma'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2=raiz2
Logo o vetor unitário tangente é
T(t)=gamma'(t)|gamma'(t)| =1raiz2,(-sin t,;cos t,;1)

Passo 3

Para o vetor normal a gente deriva T(t) e normaliza:
T'(t) =ddtl[tfrac1raiz2(-sin t,cos t,1)r] =1raiz2(-cos t,-sin t,0)
A norma de T'(t) é
|T'(t)| =1raiz2raizcos^2t+sin^2t =1raiz2
Então o vetor normal unitário é
N(t)=T'(t)|T'(t)| =(-cos t,;-sin t,;0)

Passo 4

O binormal é dado pelo produto vetorial
B(t)=T(t)times N(t)
Calculando (ou usando a regra de Sarrus) a gente encontra
B(t) =1raiz2(sin t,,-cos t,;1)
Ele é unitário e ortogonal a T e N.

Passo 5

O plano normal a gamma em t tem como vetor normal o próprio T(t).
A equação geral de um plano de normal n passando por r0 é
ncdotl((x,y,z)-r0r)=0
Aqui n=T(t) e r0=gamma(t)=(cos t,sin t,t). Multiplicando por raiz2 para simplificar:
(-sin t,;cos t,;1)cdot (x-cos t,y-sin t,z-t)=0
que expande para
-sin t,x+cos t,y+z-t=0

Passo 6

O plano osculador é o que contém T e N, ou seja, sua normal é B(t).
De novo,
B(t)cdotl((x,y,z)-gamma(t)r)=0,
multiplicando por raiz2:
(sin t,-cos t,1)cdot(x-cos t,y-sin t,z-t)=0
que dá
sin t,x-cos t,y+z-t=0

Resposta

(a) Vetores de Frenet:
N(t)=(-cos t,;-sin t,;0), B(t)=1raiz2(sin t,;-,cos t,;1)
(b) Equações dos planos em gamma(t):
Plano normal: -sin t,x+cos t,y+z-t=0,
Plano osculador: ;sin t,x-cos t,y+z-t=0

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