Dada a curva hélice circular
, determine:
(a) Os vetores normal e binormal.
(b) As equações do plano normal e do plano osculador.
(a) Os vetores normal e binormal.
(b) As equações do plano normal e do plano osculador.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente analisar a hélice circular
e pedir:
(a) o vetor normal e o binormal
,
(b) as equações do plano normal e do plano osculador.
Isso é Geometria Diferencial, usando o sistema de Frenet–Serret. Pra resolver, vamos precisar de derivadas de , normalizar vetores, produto escalar (pra plano) e produto vetorial (pra binormal).
(a) o vetor normal
(b) as equações do plano normal e do plano osculador.
Isso é Geometria Diferencial, usando o sistema de Frenet–Serret. Pra resolver, vamos precisar de derivadas de
Passo 2
Primeiro achamos o vetor tangente
a norma é
Logo o vetor unitário tangente é
Passo 3
Para o vetor normal a gente deriva
e normaliza:
A norma de
é
Então o vetor normal unitário é
Passo 4
O binormal é dado pelo produto vetorial
Calculando (ou usando a regra de Sarrus) a gente encontra
Ele é unitário e ortogonal a
e
.
Passo 5
O plano normal a
em
tem como vetor normal o próprio
.
A equação geral de um plano de normal passando por
é
A equação geral de um plano de normal
Aqui
e
. Multiplicando por
para simplificar:
que expande para
Passo 6
O plano osculador é o que contém
e
, ou seja, sua normal é
.
De novo,
De novo,
multiplicando por
:
que dá
Resposta
(a) Vetores de Frenet:
(b) Equações dos planos em
: