Dado o campo vetorial F(x, y, z)=k(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 cdot(x, y, z). Calcule o seu divergente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente de
F(x,y,z)=k(x^2+y^2+z^2)^3/2,(x,y,z).
O conteúdo necessário é o operador divergente, definido por
nablacdot F=partialxF1+partialyF2+partialzF3,
e vamos usar regra do produto e regra da cadeia para derivar cada componente.

Passo 2

Escrevemos as componentes de F:
F1(x,y,z)=k,x,(x^2+y^2+z^2)^-3/2, F2(x,y,z)=k,y,(x^2+y^2+z^2)^-3/2, F3(x,y,z)=k,z,(x^2+y^2+z^2)^-3/2
Então
nablacdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z

Passo 3

Calculamos partialxF1 usando produto e cadeia:
partial F1partial x = kl[(x^2+y^2+z^2)^-3/2 + xcdot(-tfrac32)(2x)(x^2+y^2+z^2)^-5/2r]
Definindo r^2=x^2+y^2+z^2, fica
partial F1partial x = kl[r^-3-3x^2r^-5r]

Passo 4

Por simetria,
partial F2partial y = kl[r^-3-3y^2r^-5r], partial F3partial z = kl[r^-3-3z^2r^-5r]
Somando as três parcelas,
nablacdot F = kl[(r^-3-3x^2r^-5) +(r^-3-3y^2r^-5) +(r^-3-3z^2r^-5)r] = kl(3r^-3-3r^2r^-5r) =0

Resposta

nablacdot F=0 para (x,y,z)neq(0,0,0).

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