Para a curva:
\mathbf{r}(t)=(t, \ln t), \quad t>0
no ponto t=1, determine:
a) vetor tangente unitário
b) vetor normal unitário
c) curvatura
d) centro de curvatura

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=(t,\ln t),\qquad t>0,
e pede, no ponto t=1:
a) o vetor tangente unitário;
b) o vetor normal unitário;
c) a curvatura;
d) o centro de curvatura.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A posição no ponto t=1 é \mathbf{r}(1)=(1,\ln 1)=(1,0).
  • Serão necessárias as derivadas \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) e a velocidade \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas e a velocidade — primeiro passo prático e essencial.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}\ln t\right)=\left(1,\;\frac{1}{t}\right).
\mathbf{r}''(t)=\left(0,\;-\frac{1}{t^{2}}\right).
A velocidade (norma da derivada) é
\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert=\sqrt{1+\frac{1}{t^{2}}}.
Para t=1 temos
\mathbf{r}'(1)=(1,1),\qquad \lVert\mathbf{r}'(1)\rVert=\sqrt{2}.
Explicação curta: \mathbf{r}'(t) dá a direção instantânea da curva; \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert é a velocidade escalar (quanto a curva “anda” por unidade de t).

Passo 3

(a) Vetor tangente unitário \mathbf{T}(t).
Definição e ideia: o vetor tangente unitário em qualquer t é a direção do movimento normalizada:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert}.
Substituindo:
\mathbf{T}(t)=\frac{\left(1,\;1/t\right)}{\sqrt{1+1/t^{2}}}.
No ponto t=1:
\mathbf{T}(1)=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Pequena verificação mental: \mathbf{T}(1) tem norma 1 e aponta no sentido crescente de x e de y (ambos positivos).

Passo 4

(c) Curvatura \kappa(t).
Fórmula prática para curvatura de uma curva plana paramétrica \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)):
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert^{3}}.
Aqui x'(t)=1, y'(t)=1/t, x''(t)=0, y''(t)=-1/t^{2}. Então o numerador é
|1\cdot(-1/t^{2})-(1/t)\cdot 0|=\frac{1}{t^{2}}.
O denominador é \big(\sqrt{1+1/t^{2}}\big)^{3}=(1+1/t^{2})^{3/2}. Assim
\kappa(t)=\frac{1/t^{2}}{(1+1/t^{2})^{3/2}}.
Simplificando (multiplicando numerador e denominador por t^{3}) obtemos uma forma mais limpa:
\kappa(t)=\frac{t}{(t^{2}+1)^{3/2}}.
No ponto t=1:
\kappa(1)=\frac{1}{(1+1)^{3/2}}=\frac{1}{2^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Comentário didático: a curvatura mede “o quanto” a curva está curvada localmente; para curvas planas com parámetro qualquer, essa fórmula usando as derivadas funciona muito bem na prova.

Passo 5

(b) Vetor normal unitário \mathbf{N}(1).
Definição: o vetor normal unitário (ou principal) é a direção de variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco; em fórmulas:
\mathbf{N}(t)=\frac{\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}}{\left\lVert\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rVert},
onde s é o comprimento de arco. Usamos que \dfrac{d\mathbf{T}}{ds}=\dfrac{1}{\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert}\dfrac{d\mathbf{T}}{dt} e que \left\lVert\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rVert=\kappa(t). Portanto
\mathbf{N}(t)=\frac{1}{\kappa(t)}\cdot\frac{1}{\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert}\frac{d\mathbf{T}}{dt}.
Cálculo prático direto no ponto t=1 (evita manipulações gerais grosseiras):
Já temos \mathbf{T}(t)=\dfrac{(1,1/t)}{\sqrt{1+1/t^{2}}}. Derivando em relação a t e avaliando em t=1 (mostrando os passos essenciais):
Calcule \dfrac{d\mathbf{T}}{dt} em t=1. Usando cálculo componente a componente e as simplificações para t=1 (onde \sqrt{1+1/t^{2}}=\sqrt{2}):
\frac{d\mathbf{T}}{dt}\Big|_{t=1}=\left(\frac{1}{2\sqrt{2}},\;-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
Explicação curta: essa derivada foi obtida aplicando a regra do quociente e simplificando ao avaliar em t=1; os termos se cancelam de forma simpática.
Agora dividimos por \lVert\mathbf{r}'(1)\rVert=\sqrt{2} para obter \dfrac{d\mathbf{T}}{ds} em t=1:
\frac{d\mathbf{T}}{ds}\Big|_{t=1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}},\;-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{1}{4},\;-\frac{1}{4}\right).
Sua norma é
\left\lVert\frac{d\mathbf{T}}{ds}\Big|_{t=1}\right\rVert=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\kappa(1),
coerente com a curvatura encontrada.
Finalmente
\mathbf{N}(1)=\frac{1}{\kappa(1)}\frac{d\mathbf{T}}{ds}\Big|_{t=1}=\frac{1}{\tfrac{1}{2\sqrt{2}}}\left(\frac{1}{4},\;-\frac{1}{4}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Verificação rápida: \mathbf{T}(1)\cdot\mathbf{N}(1)=0 e \lVert\mathbf{N}(1)\rVert=1, como deve ser.

Passo 6

(d) Centro de curvatura no ponto t=1.
Definição e ideia: o centro de curvatura (centro do círculo osculador) é obtido a partir do ponto da curva deslocando-se na direção do vetor normal unitário por uma distância igual ao raio de curvatura \rho=1/\kappa:
\text{Centro}=\mathbf{r}(1)+\rho(1)\,\mathbf{N}(1),\qquad \rho(1)=\frac{1}{\kappa(1)}.
Já temos \kappa(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}, logo
\rho(1)=2\sqrt{2}.
Usando \mathbf{r}(1)=(1,0) e \mathbf{N}(1)=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right):
\text{Centro}=(1,0)+2\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=(1,0)+2(1,-1)=(3,-2).
Interpretação: o centro de curvatura fica no ponto (3,-2); o círculo de raio 2\sqrt{2} centrado aí tangencia a curva em (1,0) com curvatura indicada.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\displaystyle \mathbf{N}(1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\displaystyle \kappa(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}
\displaystyle \text{Centro de curvatura}=(3,-2)

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