Explicação curta: \mathbf{r}'(t) dá a direção instantânea da curva; \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert é a velocidade escalar (quanto a curva “anda” por unidade de t).
Passo 3
(a) Vetor tangente unitário \mathbf{T}(t).
Definição e ideia: o vetor tangente unitário em qualquer t é a direção do movimento normalizada:
Comentário didático: a curvatura mede “o quanto” a curva está curvada localmente; para curvas planas com parámetro qualquer, essa fórmula usando as derivadas funciona muito bem na prova.
Passo 5
(b) Vetor normal unitário \mathbf{N}(1).
Definição: o vetor normal unitário (ou principal) é a direção de variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco; em fórmulas:
onde s é o comprimento de arco. Usamos que \dfrac{d\mathbf{T}}{ds}=\dfrac{1}{\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert}\dfrac{d\mathbf{T}}{dt} e que \left\lVert\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rVert=\kappa(t). Portanto
Cálculo prático direto no ponto t=1 (evita manipulações gerais grosseiras):
Já temos \mathbf{T}(t)=\dfrac{(1,1/t)}{\sqrt{1+1/t^{2}}}. Derivando em relação a t e avaliando em t=1 (mostrando os passos essenciais):
Calcule \dfrac{d\mathbf{T}}{dt} em t=1. Usando cálculo componente a componente e as simplificações para t=1 (onde \sqrt{1+1/t^{2}}=\sqrt{2}):
Verificação rápida: \mathbf{T}(1)\cdot\mathbf{N}(1)=0 e \lVert\mathbf{N}(1)\rVert=1, como deve ser.
Passo 6
(d) Centro de curvatura no ponto t=1.
Definição e ideia: o centro de curvatura (centro do círculo osculador) é obtido a partir do ponto da curva deslocando-se na direção do vetor normal unitário por uma distância igual ao raio de curvatura \rho=1/\kappa: