1. Determine a área máxima de um retângulo, de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=4. (Resp: Área máx. 32 u.a.)

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=4
e pede a área máxima de um retângulo inscrito nessa elipse cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.
Informações e o que se pede:
  • A elipse é dada por \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}=4.
  • O retângulo tem lados paralelos aos eixos; portanto, se tomarmos um vértice no primeiro quadrante como (x,y) com x\ge 0 e y\ge 0, os quatro vértices do retângulo serão (\pm x,\pm y).
  • A tarefa: encontrar os valores de x e y que tornam a área do retângulo máxima e calcular essa área máxima.

Passo 2

Expressar a área do retângulo em função de uma única variável usando a equação da elipse.
  • Área do retângulo com vértices (\pm x,\pm y) é
A=4xy.
  • Da equação da elipse isolamos y em função de x. Partimos de
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=4.
Subtraindo \dfrac{x^{2}}{2} e multiplicando por 8 obtemos
y^{2}=8\left(4-\frac{x^{2}}{2}\right)=32-4x^{2}.
Como y\ge 0 no primeiro quadrante,
y=\sqrt{32-4x^{2}}.

Passo 3

Montar a função área em termos de x e indicar o domínio de x.
Substituindo y em A=4xy temos
A(x)=4x\sqrt{32-4x^{2}}.
O domínio de x é determinado por y^{2}\ge 0, ou seja 32-4x^{2}\ge 0. Portanto
x^{2}\le 8\quad\Rightarrow\quad 0\le x\le 2\sqrt{2}.

Passo 4

Escolher método de maximização e justificar: uso de derivada (cálculo diferencial).
Explicação curta das regras que vamos usar:
  • Para encontrar máximos locais de uma função diferenciável usamos pontos críticos onde a derivada é zero ou inexistente.
  • Derivadas usadas: regra do produto e regra da cadeia. Lembrete: se u(x)=\sqrt{v(x)} então u'(x)=\dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}.
Calculemos A'(x). Escrevendo A(x)=4x\,(32-4x^{2})^{1/2} e aplicando a regra do produto:
A'(x)=4\,(32-4x^{2})^{1/2}+4x\cdot\frac{1}{2}(32-4x^{2})^{-1/2}\cdot(-8x).
Agora simplificamos o segundo termo: 4x\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(-8x) = 4x\cdot(-4x) = -16x^{2}. Portanto
A'(x)=4\sqrt{32-4x^{2}}-\frac{16x^{2}}{\sqrt{32-4x^{2}}}.
Colocando em comum denominador \sqrt{32-4x^{2}},
A'(x)=\frac{4(32-4x^{2})-16x^{2}}{\sqrt{32-4x^{2}}}=\frac{128-32x^{2}}{\sqrt{32-4x^{2}}}.
Pontos críticos interiores ocorrem quando o numerador se anula (denominador é positivo no interior do domínio):
128-32x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=2
(consideramos x\ge 0, então x=2 é o candidato).

Passo 5

Verificar que x=2 dá máximo absoluto no intervalo.
  • Valores nas extremidades do domínio:
    • A(0)=0 (retângulo degenerado).
    • x=2\sqrt{2} implica y=0 e então A(2\sqrt{2})=0.
  • Em x=2 calculamos y pela elipse:
\frac{2^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{4}{2}+\frac{y^{2}}{8}=4\quad\Rightarrow\quad 2+\frac{y^{2}}{8}=4,
logo
\frac{y^{2}}{8}=2\quad\Rightarrow\quad y^{2}=16\quad\Rightarrow\quad y=4.
  • Área correspondente:
A(2)=4\cdot 2\cdot 4=32.
Como A é contínua no intervalo fechado [0,2\sqrt{2}] e os valores nas extremidades são 0 enquanto em x=2 obtemos 32, conclui-se que A(2)=32 é a área máxima.

Passo 6

Resumo didático do método (para a prova): escolher uma variável (aqui x), escrever a área em função dessa variável usando a condição da elipse, obter A(x), encontrar A'(x), resolver A'(x)=0 para localizar candidatos, e comparar com valores nas fronteiras do domínio. Não esquecer de checar se o ponto crítico está no domínio e se corresponde a máximo (comparando valores ou pelo sinal da derivada/segunda derivada).

Resposta

32\\ \text{u.a.}

Exercícios relacionados