- Determine a área máxima de um retângulo, de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse
. (Resp: Área máx. 32 u.a.)
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede a área máxima de um retângulo inscrito nessa elipse cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.
Informações e o que se pede:
- A elipse é dada por
. - O retângulo tem lados paralelos aos eixos; portanto, se tomarmos um vértice no primeiro quadrante como
com e , os quatro vértices do retângulo serão . - A tarefa: encontrar os valores de
e que tornam a área do retângulo máxima e calcular essa área máxima.
Passo 2
Expressar a área do retângulo em função de uma única variável usando a equação da elipse.
- Área do retângulo com vértices
é
- Da equação da elipse isolamos
em função de . Partimos de
Subtraindo
e multiplicando por
obtemos
Como
no primeiro quadrante,
Passo 3
Montar a função área em termos de
e indicar o domínio de
.
Substituindo
em
temos
O domínio de
é determinado por
, ou seja
. Portanto
Passo 4
Escolher método de maximização e justificar: uso de derivada (cálculo diferencial).
Explicação curta das regras que vamos usar:
- Para encontrar máximos locais de uma função diferenciável usamos pontos críticos onde a derivada é zero ou inexistente.
- Derivadas usadas: regra do produto e regra da cadeia. Lembrete: se
então .
Calculemos
. Escrevendo
e aplicando a regra do produto:
Agora simplificamos o segundo termo:
. Portanto
Colocando em comum denominador
,
Pontos críticos interiores ocorrem quando o numerador se anula (denominador é positivo no interior do domínio):
(consideramos
, então
é o candidato).
Passo 5
Verificar que
dá máximo absoluto no intervalo.
- Valores nas extremidades do domínio:
-
(retângulo degenerado). -
implica e então .
-
- Em
calculamos pela elipse:
logo
- Área correspondente:
Como
é contínua no intervalo fechado
e os valores nas extremidades são
enquanto em
obtemos
, conclui-se que
é a área máxima.
Passo 6
Resumo didático do método (para a prova): escolher uma variável (aqui
), escrever a área em função dessa variável usando a condição da elipse, obter
, encontrar
, resolver
para localizar candidatos, e comparar com valores nas fronteiras do domínio. Não esquecer de checar se o ponto crítico está no domínio e se corresponde a máximo (comparando valores ou pelo sinal da derivada/segunda derivada).