Nos Exercícios de 39 a 48, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá a série alternante
. O conteúdo aqui é séries numéricas, em particular séries geométricas alternantes, e vamos precisar usar dois testes principais: o teste da divergência (limite do termo geral) e o teste de convergência absoluta (série geométrica).
Passo 2
Vamos começar definindo o termo geral
como
Para toda série convergente é necessário que
. Calculando esse limite em valor absoluto temos
Como
, o fator
cresce para
, logo
e, em particular,
não tende a zero. Pelo teste da divergência a série não pode convergir.
Passo 3
Agora, mesmo que queira checar a convergência absoluta, consideramos
Isso é uma série geométrica com razão
, que diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Passo 4
Como nem mesmo o termo geral tende a zero, a série diverge imediatamente (ela não converge nem condicionalmente nem absolutamente).
Resposta
A série é divergente.