Nos Exercícios de 39 a 48, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
sumn=1^+infty(-1)^n-1 6^n5^n+1

Passo 1

O enunciado dá a série alternante sumn=1^+infty(-1)^n-1 6^n5^n+1. O conteúdo aqui é séries numéricas, em particular séries geométricas alternantes, e vamos precisar usar dois testes principais: o teste da divergência (limite do termo geral) e o teste de convergência absoluta (série geométrica).

Passo 2

Vamos começar definindo o termo geral an como
an = (-1)^n-1 6^n5^n+1
Para toda série convergente é necessário que limntoinftyan = 0. Calculando esse limite em valor absoluto temos
|an| = 6^n5^n+1 = 15l(65r)^n
Como 65>1, o fator (6/5)^n cresce para +infty, logo |an|to +infty e, em particular, an não tende a zero. Pelo teste da divergência a série não pode convergir.

Passo 3

Agora, mesmo que queira checar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^+infty |an| = sumn=1^+infty 6^n5^n+1 = 15 sumn=1^+infty l(65r)^n
Isso é uma série geométrica com razão r=6/5>1, que diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 4

Como nem mesmo o termo geral tende a zero, a série diverge imediatamente (ela não converge nem condicionalmente nem absolutamente).

Resposta

A série é divergente.

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