Dada a curva r(t)=cos ^3(t) j+sen^3(t) k.
a) Encontre o vetor tangente unitário T(t).
b) Calcule o comprimento da curva no intervalo 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
r(t)=cos^3(t),j+sin^3(t),k,
e pede (a) o vetor tangente unitário T(t) e (b) o comprimento de arco no intervalo 0<= t<= pi/2. Para isso vamos precisar derivar r(t), normalizar o resultado para obter T(t) e depois integrar a norma de r'(t) para achar o comprimento.

Passo 2

Calcular a derivada r'(t) e sua norma.
r'(t) =ddtl[cos^3(t)r],j +ddtl[sin^3(t)r],k =-3cos^2(t)sin(t),j +3sin^2(t)cos(t),k
Agora a norma:
l|r'(t)r| =raizl(-3cos^2(t)sin(t)r)^2 +l(3sin^2(t)cos(t)r)^2 =3raizcos^4(t)sin^2(t)+sin^4(t)cos^2(t) =3,sin(t)cos(t),
onde usamos sin(t)>=0 e cos(t)>=0 para tin[0,pi/2].

Passo 3

Obter o vetor tangente unitário T(t) dividindo r'(t) pela sua norma:
T(t) =r'(t)|r'(t)| =-3cos^2(t)sin(t)3sin(t)cos(t),j +3sin^2(t)cos(t)3sin(t)cos(t),k =-cos(t),j+sin(t),k

Passo 4

Calcular o comprimento de arco
L=integral0^pi/2l|r'(t)r|,dt =integral0^pi/23sin(t)cos(t),dt =3integral0^pi/2sin(t)cos(t),dt
Fazendo u=sin(t), du=cos(t),dt, os limites vão de u(0)=0 a u(pi/2)=1, então
L=3integral0^1u,du =3cdot12 =32

Resposta

a) T(t)=-cos(t),j+sin(t),k
b) L=tfrac32

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