Determine o vetor posição r(t), sendo que a(t)=2 cos (2 t) i+2 sen(2 t) j, v(0)=i+j e r(0)=12 i-12 j.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração
a(t)=2cos(2t),i+2sin(2t),j,
além das condições iniciais v(0)=i+j e r(0)=tfrac12i-tfrac12j. O conteúdo aqui é cinemática vetorial: vamos integrar componente a componente para obter primeiro v(t) e depois r(t).

Passo 2

Integramos a(t) para achar a velocidade geral
v(t)=integrala(t),dt+C1 =l(integral2cos(2t),dtr)i+l(integral2sin(2t),dtr)j+C1
Como
integral2cos(2t),dt=sin(2t), integral2sin(2t),dt=-cos(2t),
segue
v(t)=sin(2t),i-cos(2t),j+C1

Passo 3

Usamos v(0)=i+j. Em t=0 temos sin(0)=0 e cos(0)=1, logo
v(0)=0;i-1;j+C1 =C1-j
Para isso ser i+j é preciso C1=i+2j. Portanto
v(t)=l(sin(2t)+1r)i+l(2-cos(2t)r)j

Passo 4

Integramos v(t) para obter a posição geral
r(t)=integralv(t),dt+C2 =l(integral(sin(2t)+1),dtr)i+l(integral(2-cos(2t)),dtr)j+C2
Calculamos
integral(sin(2t)+1),dt=-tfrac12cos(2t)+t, integral(2-cos(2t)),dt=2t-tfrac12sin(2t),
logo
r(t)=l(-tfrac12cos(2t)+tr)i+l(2t-tfrac12sin(2t)r)j+C2

Passo 5

Aplicamos r(0)=tfrac12i-tfrac12j. Em t=0 temos cos0=1, sin0=0, então
r(0) =l(-tfrac12cdot1+0r)i+l(0-0r)j+C2 =l(-tfrac12r)i+0j+C2 =C2-tfrac12i
Para isso ser tfrac12i-tfrac12j precisamos de C2=i-tfrac12j. Substituindo em r(t) dá:

Resposta

r(t) =l(-tfrac12cos(2t)+t+1r)i +l(2t-tfrac12sin(2t)-tfrac12r)j

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