Uma EDO linear homogênea de ordem n é qualquer EDO que possa ser escrita na forma
an(x) y^(n)+ldots+a1(x) y^prime+a0(x) y=0
Assim sendo, verifique se as funções dos conjuntos de cada item efetivamente resolvem as respectivas EDO’s lineares homogêneas:
d) {\left{1, x, e^{-x}, x e^{-x}\right}, y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as quatro funções
1,;x,;e^-x,;x e^-x
são soluções da EDO linear homogênea de quarta ordem
y^(4) + 2,y^primeprimeprime + y^primeprime ;=; 0
Para isso, basta calcular as derivadas necessárias de cada função e ver se, ao substituí-las na EDO, obtemos zero.

Passo 2

Verificação para y=1 e y=x.
  • Se y=1, então
    ;y'=0,;y''=0,;y'''=0,;y^(4)=0,
    logo y^(4) + 2,y''' + y'' = 0 + 2cdot0 + 0 = 0
  • Se y=x, então
    ;y'=1,;y''=0,;y'''=0,;y^(4)=0,
    logo y^(4) + 2,y''' + y'' = 0 + 2cdot0 + 0 = 0
Ambas satisfazem a EDO.

Passo 3

Verificação para y=e^-x.
As derivadas são
y'=-e^-x, y''=e^-x, y'''=-e^-x, y^(4)=e^-x
Substituindo:
y^(4) + 2,y''' + y'' = e^-x + 2(-e^-x) + e^-x = e^-x -2e^-x + e^-x =0
Portanto e^-x é solução.

Passo 4

Verificação para y = x e^-x.
Calculamos:
y' = e^-x - x e^-x, y'' = x e^-x - 2e^-x,
y''' = 3e^-x - x e^-x, y^(4) = x e^-x - 4e^-x
Então
y^(4) + 2,y''' + y'' = (x e^-x -4e^-x) +2,(3e^-x - x e^-x) +(x e^-x -2e^-x) =0,
pois os termos em x e^-x e em e^-x somam zero.

Resposta

As quatro funções realmente satisfazem a EDO
y^(4) + 2,y^primeprimeprime + y^primeprime = 0
Logo o conjunto 1,,x,,e^-x,,x e^-x é um conjunto de soluções da equação dada.

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