Encontre uma parametrização da curva dada pela interseção do plano
e o cilindro hiperbólico
, tal que a curva contem o ponto
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma parametrização da curva que é a interseção do plano
, com o cilindro hiperbólico
, e que passe pelo ponto
.
Informações dadas:
O ponto que deve pertencer à curva é
.
Passo 2
Idea principal (sem resolver ainda): uma parametrização da curva de interseção precisa fornecer
em função de um parâmetro
tal que, para todo
, os três valores satisfaçam simultaneamente
e
. Uma escolha natural para parametrizar a equação
é usar funções hiperbólicas, porque elas satisfazem a identidade fundamental
. Vou explicar e usar isso no próximo passo.
Passo 3
Lição rápida sobre funções hiperbólicas (para você poder usar na prova): definimos
A identidade importante é
que decorre diretamente das definições (fazendo as contas com exponenciais). Logo, a parametrização
satisfaz
para todo
. Mas atenção: a curva
tem duas “ramificações” em
(uma com
e outra com
). Para cobrir a ramificação com
basta colocar um sinal negativo em
, isto é
que também satisfaz
(pois
).
Passo 4
Escolhendo a ramificação correta para conter o ponto dado: o ponto
tem
e
. Sabemos que
e
. Portanto, tomando
e escolhendo
obtemos
e
, ou seja essa escolha inclui o ponto pedido. Bom sinal escolhido!
Passo 5
Agora usamos a equação do plano para obter
. Da equação do plano
temos
Substituindo
e
obtemos
Uma simplificação útil (que vale em provas) é usar exponenciais: pela definição de
e
,
Portanto podemos escrever
.
Passo 6
Montando a parametrização final: juntando tudo temos
com parâmetro
.
Verificações rápidas (que você deve fazer na prova para mostrar que está certo):
- Verificar
:
- Verificar o plano
:
- Verificar que o ponto pedido está na curva: para
obtemos .