Encontre uma parametrização da curva dada pela interseção do plano x-y+z=0 e o cilindro hiperbólico x^{2}-y^{2}=1, tal que a curva contem o ponto (-1,0,1).

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma parametrização da curva que é a interseção do plano \,x-y+z=0, com o cilindro hiperbólico \,x^{2}-y^{2}=1, e que passe pelo ponto (-1,0,1).
Informações dadas:
x-y+z=0
x^{2}-y^{2}=1
O ponto que deve pertencer à curva é (-1,0,1).

Passo 2

Idea principal (sem resolver ainda): uma parametrização da curva de interseção precisa fornecer x(t),y(t),z(t) em função de um parâmetro t tal que, para todo t, os três valores satisfaçam simultaneamente \,x^{2}-y^{2}=1 e \,x-y+z=0. Uma escolha natural para parametrizar a equação \,x^{2}-y^{2}=1 é usar funções hiperbólicas, porque elas satisfazem a identidade fundamental \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Vou explicar e usar isso no próximo passo.

Passo 3

Lição rápida sobre funções hiperbólicas (para você poder usar na prova): definimos
\operatorname{cosh} t = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2},\qquad \operatorname{sinh} t = \frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
A identidade importante é
\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1,
que decorre diretamente das definições (fazendo as contas com exponenciais). Logo, a parametrização
x=\operatorname{cosh} t,\qquad y=\operatorname{sinh} t
satisfaz \,x^{2}-y^{2}=1 para todo t. Mas atenção: a curva \,x^{2}-y^{2}=1 tem duas “ramificações” em x (uma com x\ge1 e outra com x\le-1). Para cobrir a ramificação com x\le-1 basta colocar um sinal negativo em x, isto é
x=-\operatorname{cosh} t,\qquad y=\operatorname{sinh} t,
que também satisfaz \,x^{2}-y^{2}=1 (pois (-\operatorname{cosh} t)^{2}=\operatorname{cosh}^{2}t).

Passo 4

Escolhendo a ramificação correta para conter o ponto dado: o ponto (-1,0,1) tem x=-1 e y=0. Sabemos que \operatorname{cosh} 0=1 e \operatorname{sinh} 0=0. Portanto, tomando
x(t)=-\operatorname{cosh} t,\qquad y(t)=\operatorname{sinh} t,
e escolhendo t=0 obtemos x(0)=-1 e y(0)=0, ou seja essa escolha inclui o ponto pedido. Bom sinal escolhido!

Passo 5

Agora usamos a equação do plano para obter z. Da equação do plano \,x-y+z=0 temos
z = -x + y.
Substituindo x=-\operatorname{cosh} t e y=\operatorname{sinh} t obtemos
z(t) = -(-\operatorname{cosh} t)+\operatorname{sinh} t = \operatorname{cosh} t+\operatorname{sinh} t.
Uma simplificação útil (que vale em provas) é usar exponenciais: pela definição de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh},
\operatorname{cosh} t+\operatorname{sinh} t = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2} + \frac{e^{t}-e^{-t}}{2} = e^{t}.
Portanto podemos escrever z(t)=e^{t}.

Passo 6

Montando a parametrização final: juntando tudo temos
x(t)=-\operatorname{cosh} t,\qquad y(t)=\operatorname{sinh} t,\qquad z(t)=\operatorname{cosh} t+\operatorname{sinh} t = e^{t},
com parâmetro t\in\mathbb{R}.
Verificações rápidas (que você deve fazer na prova para mostrar que está certo):
  1. Verificar \,x^{2}-y^{2}=1:
(-\operatorname{cosh} t)^{2}-(\operatorname{sinh} t)^{2}=\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1.
  1. Verificar o plano \,x-y+z=0:
(-\operatorname{cosh} t)-\operatorname{sinh} t + (\operatorname{cosh} t+\operatorname{sinh} t)=0.
  1. Verificar que o ponto pedido está na curva: para t=0 obtemos (-1,0,1).

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(-\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;e^{t}\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.

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