Dada a curva lisa, determine a curvatura e a torção da curva no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva representada pela função vetorial e precisamos encontrar a curvatura e a torção dessa curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fórmulas que relacionam derivadas da curva para determinar essas propriedades geométricas.
Passo 2
Vamos começar identificando o valor de que corresponde ao ponto . Igualando as componentes de às de , temos:
Então, é o parâmetro que nos interessa.
Passo 3
A seguir, calculamos a primeira derivada de em relação a , que nos dá a velocidade vetorial:
Avaliada em , temos:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada de , que nos dá a aceleração vetorial: