(2,0) Dada a curva r(t)=(2 cos t, 2 sin t, e^t) lisa, determine a curvatura e a torção da curva no ponto P=(2,0,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva representada pela função vetorial r(t) = (2 cos t, 2 sin t, e^t) e precisamos encontrar a curvatura e a torção dessa curva no ponto P = (2, 0, 1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fórmulas que relacionam derivadas da curva para determinar essas propriedades geométricas.

Passo 2

Vamos começar identificando o valor de t que corresponde ao ponto P = (2, 0, 1). Igualando as componentes de r(t) às de P, temos:
2 cos t = 2 Rightarrow cos t = 1 Rightarrow t = 0
Então, t = 0 é o parâmetro que nos interessa.

Passo 3

A seguir, calculamos a primeira derivada de r(t) em relação a t, que nos dá a velocidade vetorial:
r,'(t) = (-2 sin t, 2 cos t, e^t)
Avaliada em t = 0, temos:
r,'(0) = (0, 2, 1)

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de r(t), que nos dá a aceleração vetorial:
r,''(t) = (-2 cos t, -2 sin t, e^t)
Avaliada em t = 0, obtemos:
r,''(0) = (-2, 0, 1)

Passo 5

Para encontrar a curvatura kappa, usamos a fórmula:
kappa = |r,'(t) times r,''(t)||r,'(t)|^3
Primeiro, calculamos o produto vetorial r,'(0) times r,''(0):
r,'(0) times r,''(0) = i & j & k 0 & 2 & 1 -2 & 0 & 1 = (2 cdot 1 - 1 cdot 0)i - (0 cdot 1 - (-2) cdot 1)j + (0 cdot 0 - 2 cdot (-2))k = (2)i - (2)j + (4)k
A norma desse vetor é:
|r,'(0) times r,''(0)| = raiz2^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6
Também calculamos a norma de r,'(0):
|r,'(0)| = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5
Portanto, a curvatura é:
kappa = 2raiz6(raiz5)^3 = 2raiz65raiz5 = 2raiz65raiz5 cdot raiz5raiz5 = 2raiz3025

Passo 6

Agora, vamos calcular a torção tau usando a fórmula:
tau = (r,'(t) times r,''(t)) cdot r,,'''(t)|r,'(t) times r,''(t)|^2
Primeiro, precisamos da terceira derivada de r(t):
r,,'''(t) = (2 sin t, -2 cos t, e^t)
Avaliada em t = 0:
r,,'''(0) = (0, -2, 1)
Já temos r,'(0) times r,''(0) = (2, -2, 4), então:
(r,'(0) times r,''(0)) cdot r,,'''(0) = 2 cdot 0 + (-2) cdot (-2) + 4 cdot 1 = 0 + 4 + 4 = 8
E a norma ao quadrado do produto vetorial é:
|r,'(0) times r,''(0)|^2 = (2)^2 + (-2)^2 + (4)^2 = 4 + 4 + 16 = 24
Portanto, a torção é:
tau = 824 = 13

Resposta

A curvatura da curva no ponto P = (2, 0, 1) é kappa = dfrac2raiz3025 e a torção é tau = dfrac13.

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