Em que ponto da curva
é o plano normal paralelo ao plano
? (Considere a primeira volta
)
Passo 1
O enunciado pede: dado a curva
, achar o(s) ponto(s) em que o plano normal à curva seja paralelo ao plano
. O conteúdo aqui é geometria de curvas (plano normal) e vamos precisar de derivadas e da condição de paralelismo de planos.
Passo 2
Para achar o plano normal, calculamos a derivada
, que dá o vetor tangente. Assim,
e esse vetor é o normal ao plano normal da curva.
Passo 3
O plano dado tem vetor normal
. Planos paralelos têm vetores normais paralelos, ou seja,
Passo 4
Escrevendo componente a componente:
-
⇒ . -
⇒ . -
⇒ ⇒ .
Passo 5
Das equações (1) e (2) vem
⇒
. Mas então
, ou seja, não há
real satisfazendo ambas as condições.
Passo 6
Como não existe
que satisfaça essas igualdades simultâneas, concluímos que não há ponto na curva cuja plano normal seja paralelo ao plano dado.
Resposta
Não existe ponto na curva (para
) cujo plano normal seja paralelo ao plano
.