(2,0) Em que ponto da curva r(t)=(2 sen t, 3 t, 2 cos t) é o plano normal paralelo ao plano 12 x+6 y-raiz3 z=1? (Considere a primeira volta 0 <= t <= 2 pi )

Passo 1

O enunciado pede: dado a curva r(t)=(2sin t,3t,2cos t), achar o(s) ponto(s) em que o plano normal à curva seja paralelo ao plano tfrac12x+6y-raiz3z=1. O conteúdo aqui é geometria de curvas (plano normal) e vamos precisar de derivadas e da condição de paralelismo de planos.

Passo 2

Para achar o plano normal, calculamos a derivada r'(t), que dá o vetor tangente. Assim,
r'(t)=(2cos t,;3,;-2sin t),
e esse vetor é o normal ao plano normal da curva.

Passo 3

O plano dado tem vetor normal n=(tfrac12,6,-raiz3). Planos paralelos têm vetores normais paralelos, ou seja,
r'(t)=lambda,npara algum lambda

Passo 4

Escrevendo componente a componente:
  1. 2cos t=lambdacdottfrac12 lambda=4cos t.
  2. 3=lambdacdot6 lambda=tfrac12.
  3. -2sin t=lambdacdot(-raiz3) 2sin t=tfracraiz32 sin t=tfracraiz34.

Passo 5

Das equações (1) e (2) vem 4cos t=tfrac12 cos t=tfrac18. Mas então sin^2t+cos^2t=(tfracraiz34)^2+(tfrac18)^2=tfrac316+tfrac164=tfrac1364neq1, ou seja, não há t real satisfazendo ambas as condições.

Passo 6

Como não existe tin[0,2pi] que satisfaça essas igualdades simultâneas, concluímos que não há ponto na curva cuja plano normal seja paralelo ao plano dado.

Resposta

Não existe ponto na curva (para 0<= t<=2pi) cujo plano normal seja paralelo ao plano tfrac12x+6y-raiz3z=1.

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