1. Dada a curva y=raiz[3]3 x+2, determine, se possível:
    (a) os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta y=2.
    (b) a equação da reta tangente à curva nos pontos onde a inclinação é 45^circ.

Passo 1

O exercício trata da curva y=raiz[3]3x+2 e pede pontos onde a reta tangente seja paralela a outra (item a) e, no item b, equações de tangentes com inclinação de 45^circ. Vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Para achar a inclinação da reta tangente precisamos da derivada de y. Sejam u=3x+2 e y=u^1/3. Pela regra da cadeia:
dydx=13u^-2/3cdotdudx=13(3x+2)^-2/3cdot3=(3x+2)^-2/3

Passo 3

a) Uma reta paralela a y=2 é horizontal, logo tem inclinação zero. Queremos resolver
(3x+2)^-2/3=0
Mas uma potência nunca vira zero, então não há solução. Portanto, não existem pontos com tangente paralela a y=2.

Passo 4

b) Para inclinação de 45^circ, o coeficiente angular é m=tan45^circ=1. Precisamos resolver
(3x+2)^-2/3=1
Como a^-2/3=1 implica a=pm1, temos
3x+2=1Rightarrow x=-tfrac13,
3x+2=-1Rightarrow x=-1
Calcular as ordenadas: para x=-1/3, y=raiz[3]3(-1/3)+2=1; para x=-1, y=raiz[3]-3+2=-1. Agora montamos as retas usando y-y0=m(x-x0).

Resposta

a) Não há pontos com tangente paralela a y=2. b) Há duas tangentes com inclinação 45^circ: em (-1,-1) a reta é y=x e em (-1/3,1) a reta é y=x+tfrac43.

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