Encontre:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta para encontrarmos a integral dupla:
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, uma parte da matemática que estuda a integração sobre regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral usando propriedades das funções trigonométricas e substituições.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral está escrita na ordem
primeiro e depois
. Entretanto, isso pode ser complicado devido ao limite de integração
para
. Vamos trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Originalmente,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 a
(porque
implica
).
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
. Note que
é uma função que não depende de
, então podemos tratá-la como uma constante durante essa integração.
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral original em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Expressando
em termos de
, já que
, temos:
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral resultante é:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, então utilizamos uma representação em termos de funções especiais ou calculamos numericamente. Para fins de resposta, podemos expressá-la utilizando a função de Fresnel ou deixar na forma de integral definida.
Resposta
A integral dupla dada é igual a:
Este é o valor final da integral, expresso de forma simplificada.