Encontre:
integral0^1 integral0^x^2 cos (y^3) d x d y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta para encontrarmos a integral dupla:
integral0^1 integral0^x^2 cos (y^3) , dx , dy
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, uma parte da matemática que estuda a integração sobre regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral usando propriedades das funções trigonométricas e substituições.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral está escrita na ordem integral0^1 integral0^raizy cos (y^3) , dx , dy primeiro e depois . Entretanto, isso pode ser complicado devido ao limite de integração para . Vamos trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Originalmente, vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 a (porque implica ).
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^raizy cos (y^3) , dx = cos (y^3) cdot integral0^raizy dx = cos (y^3) cdot raizy . Note que é uma função que não depende de , então podemos tratá-la como uma constante durante essa integração.

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original em relação a integral0^1 cos (y^3) cdot raizy , dy :
raizy = y^1/2 = (u^1/3)^1/2 = u^1/6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja integral cos(u) cdot u^1/6 cdot du3u^2/3 = 13 integral cos(u) cdot u^-1/2 , du , então , ou seja, . Expressando em termos de , já que , temos:
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral resultante é:
13 integral0^1 cos(u) cdot u^-1/2 , du
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, então utilizamos uma representação em termos de funções especiais ou calculamos numericamente. Para fins de resposta, podemos expressá-la utilizando a função de Fresnel ou deixar na forma de integral definida.

Resposta

A integral dupla dada é igual a:
13 integral0^1 cos(u)raizu , du
Este é o valor final da integral, expresso de forma simplificada.

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