Encontre:
integral duplaR f(x, y) d A para f(x, y)=4 x^3-9 x^2 y^2 e R: 0 <= x <= 1 ; 1 <= y <= 2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de f(x,y)=4x^3 - 9x^2y^2 sobre a região R definida por 0 <= x <= 1 e 1 <= y <= 2. O conteúdo é integração dupla via integrais iteradas, e vamos precisar montar a integral iterada e aplicar as regras de antiderivação em y e depois em x.

Passo 2

Primeiro montamos a integral iterada conforme a definição:
$$
\iint_R f(x,y),dA

\int_{x=0}^{1}
\Bigl(
\int_{y=1}^{2}
\bigl(4x^3 - 9x2y2\bigr)
,dy
\Bigr)
,dx.
$$
Aqui a gente vai integrar primeiro em integral duplaR f(x,y),dA = integralx=0^1 l( integraly=1^2 l(4x^3 - 9x^2y^2r) ,dy r) ,dx , mantendo y como constante.

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y. Para a parte 4x^3, temos
integral1^24x^3,dy = 4x^3,(2-1) = 4x^3
Para a parte -9x^2y^2, usamos a antiderivada de y^2, que é y^3/3:
integral1^2(-9x^2y^2),dy = -9x^2l[y^33r]1^2 = -3x^2,(8-1) = -21x^2
Somando, a integral interna vira 4x^3 - 21x^2.

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^1(4x^3 - 21x^2),dx = l[x^4r]0^1 - 21l[x^33r]0^1 = 1 - 7 = -6
Pronto, esse é o valor da integral dupla.

Resposta

-6

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