1. Determine o valor de a para que a função f seja contínua em R, justificando sua resposta.
    (a) cccx^2-9x-3 & se & x neq 3 a & se & x=3
    (b) cccx^3-1x^2-1 & se & x neq 1 a & se & x=1
    © cccx^2-1 & se & x<3 2 a x & se & x >= 3
    (d) clla^2 x-2 a & se & x >= 2 12 & se & x<2
    (e) ccc-2 & se & x <=-1 a x-b & se & -1= 1

Passo 1

O exercício apresenta cinco funções definidas por partes e pede para determinar o valor de a (e, no último item, também de b) de modo que cada função seja contínua em R. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes: em cada ponto de transição devemos ter limitação direita e esquerda iguais ao valor da função. Para isso, vamos calcular limites (e, quando houver indeterminação, usar fatoração) e igualá-los ao valor dado no ponto.

Passo 2

Para o item (a), a descontinuidade potencial ocorre em x=3. Calculamos
x^2-9x-3=(x-3)(x+3)x-3=x+3
para xneq3. Logo
limxto3x^2-9x-3=3+3=6
Para ser contínua, deve valer a=6.

Passo 3

Em (b), o ponto crítico é x=1. Fatoramos
x^3-1x^2-1=(x-1)(x^2+x+1)(x-1)(x+1)=x^2+x+1x+1
quando xneq1. Avaliando em x=1:
limxto1x^3-1x^2-1=1^2+1+11+1=32
Logo deve ser a=tfrac32.

Passo 4

No item ©, o ponto de troca é x=3. O limite pela esquerda é
limxto3^-(x^2-1)=3^2-1=8,
e pela direita (e valor em x=3) é
limxto3^+2ax=2acdot3=6a
Igualando para continuidade: 6a=8, de onde a=tfrac43.

Passo 5

Em (d), o ponto importante é x=2. Pela esquerda, f(2^-)=12. Pela direita (e valor em x=2):
2a^2-2a=12
(dividindo por 2) a^2-a=6 ou a^2-a-6=0, com raízes a=3 ou a=-2.

Passo 6

Em (e), há duas transições: em x=-1 e em x=1. Para x=-1, pela esquerda f(-1^-)= -2 e pela direita
f(-1^+)=a(-1)-b=-a-b,
logo -a-b=-2 ou a+b=2. Em x=1, pelo lado esquerdo f(1^-)=a-b e em x=1 (ramo direito) f(1^+)=3, então a-b=3. Resolvendo o sistema
a+b=2a-b=3
vem a=5/2 e b=-1/2.

Resposta

(a) a=6; (b) a=tfrac32; © a=tfrac43; (d) a=3 ou a=-2; (e) a=tfrac52, b=-tfrac12.

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