Dada a definição: \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0^{+}}(1+\mathrm{x})^{\frac{1}{\mathrm{x}}} e, também, \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}= \lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}. Determine:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede\n
  • Foi dada a definição clássica de \mathrm{e} por limites: \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0^{+}}(1+\mathrm{x})^{\frac{1}{\mathrm{x}}} e também as versões para x\to-\infty e x\to0^{-}.\n
  • O que se pede: calcular \displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x}.

Passo 2

Ideia principal e justificativa (a ferramenta que vamos usar)\n
  • Uma técnica padrão para limites do tipo \left(1+\frac{\text{coisa}}{x}\right)^{x} é passar para a exponencial: escrevemos a expressão como
\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x}=\exp\!\Big( x\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big)\Big).
  • Isso é válido porque a função \exp(\cdot) é contínua: o limite da exponencial é a exponencial do limite, desde que o limite interno exista (ou seja, se \lim x\ln(1+3/x) existir, então o limite original é \exp desse valor).

Passo 3

Transformar o produto em uma razão para aplicar um método de limite\n
  • Observe o expoente
x\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big).
Quando x\to-\infty temos \ln(1+3/x)\to0 e x\to-\infty, então é uma forma indeterminada do tipo 0\cdot(-\infty). Para resolver, escrevemos como razão:
x\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big)=\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big)}{\tfrac{1}{x}}.
Agora temos uma forma 0/0 quando x\to-\infty, adequada para aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicar L’Hôpital e calcular o limite do expoente passo a passo\n
  • Verificamos as hipóteses: à medida que x\to-\infty temos \ln(1+3/x)\to0 e 1/x\to0, logo condição 0/0 satisfeita.\n
  • Derivamos numerador e denominador em relação a x:
    • Derivada do numerador \ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big):
    \frac{d}{dx}\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big) =\frac{1}{1+\tfrac{3}{x}}\cdot\frac{d}{dx}\!\big(\tfrac{3}{x}\big) =\frac{1}{1+\tfrac{3}{x}}\cdot\!\big(-\tfrac{3}{x^{2}}\big).
    • Derivada do denominador \tfrac{1}{x} é -\tfrac{1}{x^{2}}.\n
  • Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to-\infty}\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big)}{\tfrac{1}{x}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle -\tfrac{3}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{3}{x}}}{\displaystyle -\tfrac{1}{x^{2}}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{1+\tfrac{3}{x}}.
  • Agora é direto: quando x\to-\infty temos \tfrac{3}{x}\to0, portanto
\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{1+\tfrac{3}{x}}=3.
  • Logo o expoente converge para 3:
\lim_{x\to-\infty} x\ln\!\big(1+\tfrac{3}{x}\big)=3.

Passo 5

Conclusão final usando a exponencial\n
  • Como \left(1+\tfrac{3}{x}\right)^{x}=\exp\!\big(x\ln(1+\tfrac{3}{x})\big) e o expoente tende a 3, pelo teorema da continuidade da exponencial segue que
\lim_{x\to-\infty}\left(1+\tfrac{3}{x}\right)^{x}=\exp(3).
  • Comentário prático para prova: você também poderia fazer a substituição x=-t com t\to+\infty e usar a forma conhecida \lim_{t\to\infty}\big(1+\tfrac{u}{t}\big)^{t}=\mathrm{e}^{u} com u=-3 para chegar ao mesmo resultado.

Resposta

\mathrm{e}^{3}

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