Dada a definição:
e, também,
. Determine:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede\n
- Foi dada a definição clássica de
por limites: e também as versões para e .\n - O que se pede: calcular
Passo 2
Ideia principal e justificativa (a ferramenta que vamos usar)\n
- Uma técnica padrão para limites do tipo
é passar para a exponencial: escrevemos a expressão como
- Isso é válido porque a função
é contínua: o limite da exponencial é a exponencial do limite, desde que o limite interno exista (ou seja, se existir, então o limite original é desse valor).
Passo 3
Transformar o produto em uma razão para aplicar um método de limite\n
- Observe o expoente
Quando
temos
e
, então é uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver, escrevemos como razão:
Agora temos uma forma
quando
, adequada para aplicar o Teorema de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicar L’Hôpital e calcular o limite do expoente passo a passo\n
- Verificamos as hipóteses: à medida que
temos e , logo condição satisfeita.\n - Derivamos numerador e denominador em relação a
: - Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
é .\n
- Derivada do numerador
- Aplicando L’Hôpital:
- Agora é direto: quando
temos , portanto
- Logo o expoente converge para
:
Passo 5
Conclusão final usando a exponencial\n
- Como
e o expoente tende a , pelo teorema da continuidade da exponencial segue que
- Comentário prático para prova: você também poderia fazer a substituição
com e usar a forma conhecida com para chegar ao mesmo resultado.