Dada a definição: \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0^{+}}(1+\mathrm{x})^{\frac{1}{\mathrm{x}}} e, também, \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}= \lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}. Determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado dá as equalidades-definição de \mathrm{e}:
\mathrm{e}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}
e pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A definição de \mathrm{e} como \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} (essa é a que vamos usar diretamente).
  • Para x grande, \dfrac{x}{x+1}>0, então potências e recíprocos estão bem definidos.

Passo 2

Fazer uma manipulação algébrica simples para reescrever a base da potência em uma forma que invoque a definição de \mathrm{e}. Começo por transformar \dfrac{x}{x+1}:
\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}.
Elevando ao expoente x obtemos
\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)^{x}=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}.

Passo 3

Agora use a definição de \mathrm{e}. Note que
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}.
Pelo enunciado, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}. Como o limite é um número não nulo, podemos tomar recíproco do limite (ou usar a continuidade da função y\mapsto 1/y em y\neq0). Assim
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=\frac{1}{\mathrm{e}}.

Passo 4

(Alternativa — via logaritmo, útil para ver a ideia por outro ângulo.) Defina
y(x)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}.
Considere o logaritmo natural:
\ln y(x)=x\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right)=x\ln\!\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)=-x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Faça a substituição t=\dfrac{1}{x}, então t\to0^{+} quando x\to+\infty, e
\ln y(x)=-\frac{\ln(1+t)}{t}.
Usando o limite clássico \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, segue que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=-1. Portanto \displaystyle\lim_{x\to+\infty}y(x)=\mathrm{e}^{-1}, que confirma o resultado anterior.

Passo 5

Conclusão didática: reescrever a expressão de forma a reconhecer a forma \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} é o truque chave. A expressão original é simplesmente o recíproco dessa forma clássica, então o limite é o recíproco de \mathrm{e}. Força aí — esse padrão aparece muito em provas!

Resposta

\mathrm{e}^{-1}

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