Dada a definição:
e, também,
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá as equalidades-definição de
:
e pede para calcular o limite
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A definição de
como (essa é a que vamos usar diretamente). - Para
grande, , então potências e recíprocos estão bem definidos.
Passo 2
Fazer uma manipulação algébrica simples para reescrever a base da potência em uma forma que invoque a definição de
. Começo por transformar
:
Elevando ao expoente
obtemos
Passo 3
Agora use a definição de
. Note que
Pelo enunciado,
. Como o limite é um número não nulo, podemos tomar recíproco do limite (ou usar a continuidade da função
em
). Assim
Passo 4
(Alternativa — via logaritmo, útil para ver a ideia por outro ângulo.) Defina
Considere o logaritmo natural:
Faça a substituição
, então
quando
, e
Usando o limite clássico
, segue que
. Portanto
, que confirma o resultado anterior.
Passo 5
Conclusão didática: reescrever a expressão de forma a reconhecer a forma
é o truque chave. A expressão original é simplesmente o recíproco dessa forma clássica, então o limite é o recíproco de
. Força aí — esse padrão aparece muito em provas!