Dada a definição:
e, também,
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá as definições clássicas de
:
e também as versões para lados negativos. A tarefa é calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas:
- A definição do número
em termos de limites do tipo . - O limite pedido é uma expressão da forma
quando .
Passo 2
Primeiro vamos fazer uma substituição simples para colocar a expressão numa forma padrão conhecida. Defina
Então
. Substituindo na expressão temos:
Portanto a expressão original transforma-se em
com
quando
. A transformação deixou o limite na forma
com
e
.
Passo 3
Agora vamos usar uma propriedade padrão de limites que vem diretamente da definição de
: para qualquer constante
real vale
Vou demonstrar isso de forma didática (porque é o coração do raciocínio):
- Seja
(se o limite existir). - Tome o logaritmo natural (porque
transforma potência em produto, facilitando o limite):
- Observe que
quando . Use o limite conhecido
- Colocando
obtemos
- Assim
, logo . Como a exponencial é contínua, passar do logaritmo ao valor final é legítimo.
Esse resultado nos dá um modo rápido de avaliar limites do tipo
também, pois
Passo 4
Voltemos ao nosso caso. Temos
e
na expressão
. Aplicando a propriedade do passo anterior:
Passo 5
Outra maneira de ver (resumida) — só para fixar a intuição: tomar logaritmo da expressão original e usar
quando
. Fazendo isso diretamente:
portanto o logaritmo tende a
e a expressão tende a
. É a mesma conclusão, vista por outro caminho.