Dada a definição: \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0^{+}}(1+\mathrm{x})^{\frac{1}{\mathrm{x}}} e, também, \mathrm{e}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}= \lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}. Determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá as definições clássicas de \mathrm{e}:
\mathrm{e}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}
e também as versões para lados negativos. A tarefa é calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição do número \mathrm{e} em termos de limites do tipo \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
  • O limite pedido é uma expressão da forma \left(1+\dfrac{\text{constante}}{x}\right)^{\text{constante}\cdot x} quando x\to+\infty.

Passo 2

Primeiro vamos fazer uma substituição simples para colocar a expressão numa forma padrão conhecida. Defina
y=\frac{x}{3}.
Então x=3y. Substituindo na expressão temos:
1-\frac{3}{x}=1-\frac{3}{3y}=1-\frac{1}{y}, \qquad 2x=2\cdot 3y=6y.
Portanto a expressão original transforma-se em
\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}=\left(1-\frac{1}{y}\right)^{6y},
com y\to+\infty quando x\to+\infty. A transformação deixou o limite na forma \left(1+\dfrac{a}{y}\right)^{b y} com a=-1 e b=6.

Passo 3

Agora vamos usar uma propriedade padrão de limites que vem diretamente da definição de \mathrm{e}: para qualquer constante a real vale
\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{a}{y}\right)^{y}=\mathrm{e}^{a}.
Vou demonstrar isso de forma didática (porque é o coração do raciocínio):
  • Seja L=\lim_{y\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{y}\right)^{y} (se o limite existir).
  • Tome o logaritmo natural (porque \ln transforma potência em produto, facilitando o limite):
\ln L=\lim_{y\to\infty} y\ln\!\left(1+\frac{a}{y}\right).
  • Observe que \dfrac{a}{y}\to 0 quando y\to\infty. Use o limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
  • Colocando t=\dfrac{a}{y} obtemos
y\ln\!\left(1+\frac{a}{y}\right)=y\cdot\frac{a}{y}\cdot\frac{\ln(1+\frac{a}{y})}{\frac{a}{y}} = a\cdot\frac{\ln(1+\frac{a}{y})}{\frac{a}{y}}\longrightarrow a\cdot 1 = a.
  • Assim \ln L=a, logo L=\mathrm{e}^{a}. Como a exponencial é contínua, passar do logaritmo ao valor final é legítimo.
Esse resultado nos dá um modo rápido de avaliar limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{y}\right)^{by} também, pois
\left(1+\frac{a}{y}\right)^{by}=\left[\left(1+\frac{a}{y}\right)^{y}\right]^{b}\longrightarrow (\mathrm{e}^{a})^{b}=\mathrm{e}^{ab}.

Passo 4

Voltemos ao nosso caso. Temos a=-1 e b=6 na expressão \left(1-\dfrac{1}{y}\right)^{6y}. Aplicando a propriedade do passo anterior:
\lim_{y\to+\infty}\left(1-\frac{1}{y}\right)^{6y}=\mathrm{e}^{(-1)\cdot 6}=\mathrm{e}^{-6}.

Passo 5

Outra maneira de ver (resumida) — só para fixar a intuição: tomar logaritmo da expressão original e usar \ln(1+t)\sim t quando t\to 0. Fazendo isso diretamente:
\ln\!\left[\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}\right]=2x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right)\sim 2x\left(-\frac{3}{x}\right)=-6,
portanto o logaritmo tende a -6 e a expressão tende a \mathrm{e}^{-6}. É a mesma conclusão, vista por outro caminho.

Resposta

\mathrm{e}^{-6}

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