Dadas a funções a seguir, encontre as assíntotas horizontais e verticais:
Passo 1
O enunciado pede: “Dadas as funções a seguir, encontre as assíntotas horizontais e verticais” para a função
.
Informações fornecidas:
- A função é
.
O que precisamos encontrar:
- As assíntotas verticais (valores de
onde a função tende a ); - As assíntotas horizontais (valores de
que a função se aproxima quando ).
Passo 2
Determinar o domínio e os pontos onde a função pode ter assíntota vertical.
- Domínio: a função tem denominador
. Logo não pode ser . Portanto o domínio é todos os reais exceto . - Candidata a assíntota vertical:
(pontos onde a função não está definida são candidatos; agora vamos verificar os limites laterais para confirmar).
Explicando a ideia: uma assíntota vertical em
ocorre se pelo menos um dos limites
ou
for
ou
. Vou calcular esses limites.
Passo 3
Calcular os limites laterais em
.
Primeiro, note o valor do numerador quando
:
. Esse detalhe é importante porque o numerador tende a uma constante não nula.
- Limite pela direita:
Quando
temos
(negativo) e
é pequeno e positivo, então a razão tende a
. Formalmente, o numerador tende a
e o denominador tende a
, então
. Portanto
- Limite pela esquerda:
Quando
temos
(negativo) e
é pequeno e negativo, então a razão tende a
. Formalmente,
. Portanto
Conclusão dessa etapa: como os limites laterais em
são infinitos (com sinais opostos),
é uma assíntota vertical.
Dica prática para a prova: se o numerador tende a uma constante não nula quando o denominador tende a zero, então a função tende a
e há assíntota vertical. Se ambos numerador e denominador tendem a zero, é preciso simplificar para ver se é um buraco removível ou uma assíntota.
Passo 4
Procurar assíntotas horizontais calculando limites quando
.
Estratégia simples: dividir numerador e denominador por
ou reescrever a função para ver o termo dominante. Aqui:
Essa reescrita é muito útil porque deixa explícito um termo que tende a zero quando
.
- Limite quando
:
- Limite quando
:
Como ambos os limites ao infinito são finitos e iguais a
, a reta
é uma assíntota horizontal da função.
Explicação didática: escrever
mostra que a função é exatamente a constante
mais um termo que fica cada vez menor em módulo quando
cresce; por isso a curva se aproxima da reta horizontal
tanto à direita quanto à esquerda.
Passo 5
Resumo do comportamento (para memorizar e resolver rápido na prova):
- Ponto onde o denominador é zero e o numerador não anula: assíntota vertical em
igual a esse ponto (aqui ). - Se a função pode ser escrita como uma constante mais um termo que tende a zero quando
, essa constante é a assíntota horizontal (aqui ).
Vai dar certo — você agora tem o passo a passo que dá pra reproduzir na prova: verificar domínio, calcular limites laterais em pontos de descontinuidade para assíntotas verticais, e calcular limites no infinito (ou dividir por
) para assíntotas horizontais.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: