Dadas a funções a seguir, encontre as assíntotas horizontais e verticais:
h(x)=\frac{2 x-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede: “Dadas as funções a seguir, encontre as assíntotas horizontais e verticais” para a função h(x)=\dfrac{2x-1}{x}.
Informações fornecidas:
  • A função é h(x)=\dfrac{2x-1}{x}.
O que precisamos encontrar:
  • As assíntotas verticais (valores de x onde a função tende a \pm\infty);
  • As assíntotas horizontais (valores de y que a função se aproxima quando x\to\pm\infty).

Passo 2

Determinar o domínio e os pontos onde a função pode ter assíntota vertical.
  • Domínio: a função tem denominador x. Logo x não pode ser 0. Portanto o domínio é todos os reais exceto x=0.
  • Candidata a assíntota vertical: x=0 (pontos onde a função não está definida são candidatos; agora vamos verificar os limites laterais para confirmar).
Explicando a ideia: uma assíntota vertical em x=a ocorre se pelo menos um dos limites \lim_{x\to a^-} h(x) ou \lim_{x\to a^+} h(x) for +\infty ou -\infty. Vou calcular esses limites.

Passo 3

Calcular os limites laterais em x=0.
Primeiro, note o valor do numerador quando x\to0: 2x-1\to -1. Esse detalhe é importante porque o numerador tende a uma constante não nula.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+} h(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{2x-1}{x}.
Quando x\to0^+ temos 2x-1\to -1 (negativo) e x é pequeno e positivo, então a razão tende a -\infty. Formalmente, o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0^+, então -1/0^+=-\infty. Portanto
\lim_{x\to 0^+} h(x)=-\infty.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-} h(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{2x-1}{x}.
Quando x\to0^- temos 2x-1\to -1 (negativo) e x é pequeno e negativo, então a razão tende a +\infty. Formalmente, -1/0^- = +\infty. Portanto
\lim_{x\to 0^-} h(x)=+\infty.
Conclusão dessa etapa: como os limites laterais em x=0 são infinitos (com sinais opostos), x=0 é uma assíntota vertical.
Dica prática para a prova: se o numerador tende a uma constante não nula quando o denominador tende a zero, então a função tende a \pm\infty e há assíntota vertical. Se ambos numerador e denominador tendem a zero, é preciso simplificar para ver se é um buraco removível ou uma assíntota.

Passo 4

Procurar assíntotas horizontais calculando limites quando x\to\pm\infty.
Estratégia simples: dividir numerador e denominador por x ou reescrever a função para ver o termo dominante. Aqui:
h(x)=\frac{2x-1}{x}=2 - \frac{1}{x}.
Essa reescrita é muito útil porque deixa explícito um termo que tende a zero quando |x|\to\infty.
  • Limite quando x\to +\infty:
\lim_{x\to +\infty} h(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2-0=2.
  • Limite quando x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty} h(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2-0=2.
Como ambos os limites ao infinito são finitos e iguais a 2, a reta y=2 é uma assíntota horizontal da função.
Explicação didática: escrever h(x)=2-\dfrac{1}{x} mostra que a função é exatamente a constante 2 mais um termo que fica cada vez menor em módulo quando |x| cresce; por isso a curva se aproxima da reta horizontal y=2 tanto à direita quanto à esquerda.

Passo 5

Resumo do comportamento (para memorizar e resolver rápido na prova):
  • Ponto onde o denominador é zero e o numerador não anula: assíntota vertical em x igual a esse ponto (aqui x=0).
  • Se a função pode ser escrita como uma constante mais um termo que tende a zero quando |x|\to\infty, essa constante é a assíntota horizontal (aqui 2).
Vai dar certo — você agora tem o passo a passo que dá pra reproduzir na prova: verificar domínio, calcular limites laterais em pontos de descontinuidade para assíntotas verticais, e calcular limites no infinito (ou dividir por x^{\text{grau}}) para assíntotas horizontais.

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntota horizontal: y=2

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