Dada a densidade de fluxo elétrico
, no espaço livre:
Calcule o fluxo elétrico total que deixa a esfera
.
Calcule o fluxo elétrico total que deixa a esfera
Passo 1
O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico no espaço livre
e pede o fluxo elétrico total que sai da esfera de raio
. Informação relevante listada:
- Campo
radial com componente (unidades nC/m²). - Superfície de integração: superfície esférica de raio
. - Queremos o fluxo total que deixa essa superfície (fluxo de
através da superfície esférica, com orientação para fora).
Passo 2
Conceito que usamos: o fluxo elétrico total através de uma superfície é a integral de superfície do produto escalar entre o campo de fluxo e o elemento de área:
Aqui
é o fluxo (unidades de carga por área vezes área → carga),
é a superfície (a esfera),
é o vetor dado, e
é o vetor área elementar apontando para fora da superfície. O produto escalar
nos dá a contribuição de fluxo naquela pequena área.
Passo 3
Descrição do elemento de área na superfície esférica (coord. esféricas): para uma esfera de raio
temos o vetor área elementar apontando radialmente para fora
onde
é o ângulo polar (de
a
) e
é o ângulo azimutal (de
a
). Explicação curta: a pequena placa sobre a esfera tem dimensões
(direção polar) e
(direção azimutal), então a área é
, e o vetor área tem direção
(para fora).
Passo 4
Calcular o integrando: como
é radial,
. No caso, sobre a superfície
temos
Portanto
Observe que usei o fato de que o campo depende de
e, na superfície,
é constante, então sai da integral angular.
Passo 5
Agora integramos sobre toda a esfera:
e
:
As integrais separam porque o integrando é produto de constante por
:
Calculando as integrais conhecidas:
Logo
Também podemos reescrever
e obter
nC quando
, como veremos.
Passo 6
Substituindo
:
portanto
Em forma de fração exata usando
temos
Valor numérico aproximado (usar
):