Dada a densidade de fluxo elétrico boldsymbol{D}=0,3 r^{2} \boldsymbol{a}_{r} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, no espaço livre:
Calcule o fluxo elétrico total que deixa a esfera \mathrm{r}=4.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico no espaço livre
\boldsymbol{D}=0{,}3\,r^{2}\,\boldsymbol{a}_{r}\\ \text{nC}/\text{m}^{2}
e pede o fluxo elétrico total que sai da esfera de raio \mathrm{r}=4. Informação relevante listada:
  • Campo \boldsymbol{D} radial com componente \,D_{r}=0{,}3\,r^{2} (unidades nC/m²).
  • Superfície de integração: superfície esférica de raio R=4.
  • Queremos o fluxo total que deixa essa superfície (fluxo de \boldsymbol{D} através da superfície esférica, com orientação para fora).

Passo 2

Conceito que usamos: o fluxo elétrico total através de uma superfície é a integral de superfície do produto escalar entre o campo de fluxo e o elemento de área:
\Phi=\iint_{S}\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{A}.
Aqui \Phi é o fluxo (unidades de carga por área vezes área → carga), S é a superfície (a esfera), \boldsymbol{D} é o vetor dado, e d\boldsymbol{A} é o vetor área elementar apontando para fora da superfície. O produto escalar \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{A} nos dá a contribuição de fluxo naquela pequena área.

Passo 3

Descrição do elemento de área na superfície esférica (coord. esféricas): para uma esfera de raio R temos o vetor área elementar apontando radialmente para fora
d\boldsymbol{A}=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\;\boldsymbol{a}_{r},
onde \theta é o ângulo polar (de 0 a \pi) e \varphi é o ângulo azimutal (de 0 a 2\pi). Explicação curta: a pequena placa sobre a esfera tem dimensões R\,d\theta (direção polar) e R\sin\theta\,d\varphi (direção azimutal), então a área é R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi, e o vetor área tem direção \boldsymbol{a}_{r} (para fora).

Passo 4

Calcular o integrando: como \boldsymbol{D} é radial, \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{A}=D_{r}\,R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. No caso, sobre a superfície r=R temos
D_{r}(R)=0{,}3\,R^{2}.
Portanto
\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{A}=0{,}3\,R^{2}\cdot R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=0{,}3\,R^{4}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Observe que usei o fato de que o campo depende de r e, na superfície, r=R é constante, então sai da integral angular.

Passo 5

Agora integramos sobre toda a esfera: \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi]:
\Phi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}0{,}3\,R^{4}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
As integrais separam porque o integrando é produto de constante por \sin\theta:
\Phi=0{,}3\,R^{4}\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right).
Calculando as integrais conhecidas:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2.
Logo
\Phi=0{,}3\,R^{4}\cdot 2\pi\cdot 2=0{,}3\cdot 4\pi\,R^{4}=1{,}2\pi\,R^{4}.
Também podemos reescrever 0{,}3=\tfrac{3}{10} e obter \Phi=\tfrac{6}{5}\pi R^{4}=\tfrac{1536}{5}\pi nC quando R=4, como veremos.

Passo 6

Substituindo R=4:
R^{4}=4^{4}=256,
portanto
\Phi=1{,}2\pi\cdot 256=307{,}2\pi\\ \text{nC}.
Em forma de fração exata usando \tfrac{3}{10} temos
\Phi=\frac{1536\pi}{5}\\ \text{nC}.
Valor numérico aproximado (usar \pi\approx 3{,}14159265):
\Phi\approx 965{,}10\\ \text{nC}.

Resposta

\Phi=\dfrac{1536\pi}{5}\\ \text{nC}\approx 965{,}10\\ \text{nC}

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