Determine an expression for the volume charge density associated with each D field following:
\mathbf{D}=\frac{4 x y}{z} \mathbf{a}_{x}+\frac{2 x^{2}}{z} \mathbf{a}_{y}-\frac{2 x^{2} y}{z^{2}} \mathbf{a}_{z} ;

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor densidade de deslocamento elétrico
\mathbf{D}(x,y,z)=\frac{4xy}{z}\,\mathbf{a}_x+\frac{2x^2}{z}\,\mathbf{a}_y-\frac{2x^2y}{z^2}\,\mathbf{a}_z
e pede a densidade de carga volumétrica livre associada. Pela lei de Gauss para dielétricos, em forma diferencial vale
\nabla\!\cdot\!\mathbf{D}=\rho_v.
Então basta calcular a divergência de \mathbf{D}.

Passo 2

Calcular \partial D_x/\partial x e \partial D_y/\partial y. Temos
D_x=\frac{4xy}{z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial D_x}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{4xy}{z}\Bigr) =\frac{4y}{z},
D_y=\frac{2x^2}{z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial D_y}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{2x^2}{z}\Bigr) =0
pois D_y não depende de y.

Passo 3

Calcular \partial D_z/\partial z. Como
D_z=-\frac{2x^2y}{z^2}
temos
\frac{\partial D_z}{\partial z} =-2x^2y\;\frac{\partial}{\partial z}\!\Bigl(z^{-2}\Bigr) =-2x^2y\;(-2)\,z^{-3} =\frac{4x^2y}{z^3}.

Passo 4

Somando as três derivadas parciais, a divergência é
\rho_v=\nabla\!\cdot\!\mathbf{D} =\frac{4y}{z}+0+\frac{4x^2y}{z^3} =4y\Bigl(\frac{1}{z}+\frac{x^2}{z^3}\Bigr) =\frac{4y\,(x^2+z^2)}{z^3}.

Resposta

\rho_v(x,y,z) =\frac{4y\,(x^2+z^2)}{z^3}.

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