A prata cristaliza em uma cela unitária cubica de fase centrada. Cada lado da cela unitária tem um comprimento de 409 pm. Qual é o raio de um átomo de prata.
Passo 1
O enunciado dá uma cela unitária cúbica de prata de tipo face-centered (cúbica de face centrada) e pede o raio de um átomo de prata. Informações relevantes que temos:
- Tipo de estrutura cristalina: cela cúbica de face centrada (FCC).
- Comprimento da aresta da cela unitária:
. - Pedido: encontrar o raio atômico
(ou seja, o raio da esfera que representa o átomo, assumindo modelos de esferas duras que se tangenciam).
Passo 2
Entender a geometria básica da FCC (explicação didática):
- Na FCC há átomos nos oito vértices do cubo e em cada uma das seis faces (um átomo no centro de cada face).
- Os átomos se acomodam de modo que se tocam ao longo da diagonal de cada face do cubo. Ou seja, a menor distância entre centros de átomos que se tocam ocorre ao longo da diagonal de uma face.
- A diagonal de uma face tem comprimento igual a uma hipotenusa de um triângulo com lados
e . Portanto o comprimento da diagonal de face é
Expliquei isso passo a passo: peguei dois lados do quadrado da face (cada um com comprimento
), apliquei o Teorema de Pitágoras e obtive
.
Passo 3
Por que essa diagonal vale
na FCC (derivação geométrica):
- Sobre a diagonal da face existem, ao longo da linha, os centros de três átomos: um átomo em um vértice da face, o átomo no centro da face, e o átomo no vértice oposto da face.
- Como as esferas (átomos) que se tocam têm centros separados por
(dois raios), a distância total de um vértice ao vértice oposto passando pelo centro da face é
- Logo, relacionamos as duas expressões para a diagonal da face:
Passo 4
Isolar
na relação encontrada:
- A partir de
, dividimos por para obter :
- Alternativamente podemos escrever
pois
. Aqui
é o comprimento da aresta (fornecido) e
é o raio que queremos.
Passo 5
Substituir o valor numérico de
e calcular passo a passo:
- Temos
. Usamos a fórmula
- Primeiro calculo aproximado de
: . - Multiplicando
por :
- Dividindo por
:
- Arredondando de forma apropriada (o dado
tem três algarismos significativos), podemos apresentar com três algarismos significativos: . Mantendo mais casas decimais para precisão dá .
Passo 6
Interpretação e conversão de unidades (opcional, útil para provas):
- Para converter para angström (
): . Assim
- Resumo: resultado numérico e alternativa arredondada conforme significância dos dados.