A prata cristaliza em uma cela unitária cubica de fase centrada. Cada lado da cela unitária tem um comprimento de 409 pm. Qual é o raio de um átomo de prata.

Passo 1

O enunciado dá uma cela unitária cúbica de prata de tipo face-centered (cúbica de face centrada) e pede o raio de um átomo de prata. Informações relevantes que temos:
  • Tipo de estrutura cristalina: cela cúbica de face centrada (FCC).
  • Comprimento da aresta da cela unitária: a = 409\,\mathrm{pm}.
  • Pedido: encontrar o raio atômico r (ou seja, o raio da esfera que representa o átomo, assumindo modelos de esferas duras que se tangenciam).

Passo 2

Entender a geometria básica da FCC (explicação didática):
  • Na FCC há átomos nos oito vértices do cubo e em cada uma das seis faces (um átomo no centro de cada face).
  • Os átomos se acomodam de modo que se tocam ao longo da diagonal de cada face do cubo. Ou seja, a menor distância entre centros de átomos que se tocam ocorre ao longo da diagonal de uma face.
  • A diagonal de uma face tem comprimento igual a uma hipotenusa de um triângulo com lados a e a. Portanto o comprimento da diagonal de face é
\text{diagonal da face} = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}.
Expliquei isso passo a passo: peguei dois lados do quadrado da face (cada um com comprimento a), apliquei o Teorema de Pitágoras e obtive a\sqrt{2}.

Passo 3

Por que essa diagonal vale 4r na FCC (derivação geométrica):
  • Sobre a diagonal da face existem, ao longo da linha, os centros de três átomos: um átomo em um vértice da face, o átomo no centro da face, e o átomo no vértice oposto da face.
  • Como as esferas (átomos) que se tocam têm centros separados por 2r (dois raios), a distância total de um vértice ao vértice oposto passando pelo centro da face é
\text{diagonal da face} = 2r + 2r = 4r.
  • Logo, relacionamos as duas expressões para a diagonal da face:
a\sqrt{2} = 4r.

Passo 4

Isolar r na relação encontrada:
  • A partir de a\sqrt{2} = 4r, dividimos por 4 para obter r:
r = \frac{a\sqrt{2}}{4}.
  • Alternativamente podemos escrever
r = \frac{a}{2\sqrt{2}},
pois \dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}. Aqui a é o comprimento da aresta (fornecido) e r é o raio que queremos.

Passo 5

Substituir o valor numérico de a e calcular passo a passo:
  • Temos a = 409\,\mathrm{pm}. Usamos a fórmula
r = \frac{a\sqrt{2}}{4}.
  • Primeiro calculo aproximado de \sqrt{2}: \sqrt{2}\approx 1,41421356.
  • Multiplicando a por \sqrt{2}:
a\sqrt{2} = 409 \times 1,41421356 \approx 578,4133\\ \mathrm{pm}.
  • Dividindo por 4:
r \approx \frac{578,4133}{4}\\ \mathrm{pm} \approx 144,6033\\ \mathrm{pm}.
  • Arredondando de forma apropriada (o dado a=409 tem três algarismos significativos), podemos apresentar r com três algarismos significativos: r \approx 145\,\mathrm{pm}. Mantendo mais casas decimais para precisão dá r \approx 144,6\,\mathrm{pm}.

Passo 6

Interpretação e conversão de unidades (opcional, útil para provas):
  • Para converter para angström ( \text{\AA}): 1\,\text{\AA} = 100\,\mathrm{pm}. Assim
r \approx 144,6\,\mathrm{pm} = 1,446\,\text{\AA}.
  • Resumo: resultado numérico e alternativa arredondada conforme significância dos dados.

Resposta

\,r \approx 144,6\,\mathrm{pm}
\,r \approx 1,446\,\text{\AA}

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