Dada a distribuição amostral
Classes 5 mid---10 10 mid---15 15 mid---20 20 mid---25 25 mid---30
fi 3 5 8 3 2
Encontre um intervalo 90% de confiança.

Passo 1

Beleza, a questão mostra uma tabela de frequências com as classes
5–10, 10–15, 15–20, 20–25 e 25–30 e frequências .
O que a gente quer é um intervalo de confiança de 90 % para a média populacional.
Conteúdo envolvido:
  • Como estimar a média e variância a partir de dados agrupados (usar pontos médios).
  • Como montar um intervalo de confiança para a média quando a variância é desconhecida (usar t de Student).

Passo 2

Primeiro a gente monta a amostra “desagrupando” pelos pontos médios de cada classe:
Classe 5–10 → ponto médio n = sumi=1^5 fi = 3+5+8+3+2 = 21 e barx = sumi=1^5 fi,min = 3cdot7.5 + 5cdot12.5 + 8cdot17.5 + 3cdot22.5 + 2cdot27.521 = 347.521 approx 16.5476
Classe 10–15 → ,
Classe 15–20 → ,
Classe 20–25 → ,
Classe 25–30 → ,
O tamanho da amostra é
A média amostral é dada por

Passo 3

Agora precisamos da variância amostral. Primeiro calculamos
3cdot7.5^2 + 5cdot12.5^2 + 8cdot17.5^2 + 3cdot22.5^2 + 2cdot27.5^2 = 6431.25 :
s^2 = sum fi mi^2 ;-; n,barx^2n-1 = 6431.25 ;-; 21,(16.5476)^220 approx 34.5445
A variância amostral s = raizs^2 approx 5.876 (correção de Bessel) é
Logo o desvio-padrão amostral é

Passo 4

Como a variância populacional é desconhecida e t0.95,,20approx 1.725 não é tão grande, usamos a distribuição t de Student com EP = sraizn = 5.876raiz21 approx 1.2826 graus de liberdade.
Para 90 % de confiança, o quantil crítico é
E = t0.95,20,EP approx 1.725 times 1.2826 approx 2.213
O erro-padrão da média é
Então a margem de erro fica

Passo 5

Por fim, o intervalo de confiança de 90 % para a média é
barx pm E = 16.5476 pm 2.213,
ou seja
[,16.5476 - 2.213,;16.5476 + 2.213,] approx [14.334,;18.761]

Resposta

Um intervalo de confiança de 90 % para a média é aproximadamente
[,14.33,;18.76,]

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