Teste a afirmação de que a média populacional é
, dada uma amostra de n=100 para a qual
e s=15. Faça o teste ao nível
de significância.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente quer testar se a média da população é mesmo μ₀ = 75, usando uma amostra de tamanho n = 100, média amostral
e desvio padrão amostral
, com nível de significância
.
Conteúdo: teste de hipóteses para a média populacional.
O que precisamos:
Conteúdo: teste de hipóteses para a média populacional.
O que precisamos:
- Definir hipóteses nula e alternativa.
- Escolher o tipo de teste (aqui vai ser bilateral porque estamos testando “é igual a 75?”).
- Usar o Teorema Central do Limite pra aproximar a distribuição da média por uma normal padrão (já que n = 100 é grande).
- Calcular o estatístico de teste
. - Comparar com os valores críticos (ou calcular p-valor).
Passo 2
Hipóteses:
H₀: (a média é 75)
H₁: (a média não é 75)
Como H₁ é “diferente de”, o teste é bilateral – a gente vai olhar as duas caudas da normal.
H₀:
H₁:
Como H₁ é “diferente de”, o teste é bilateral – a gente vai olhar as duas caudas da normal.
Passo 3
Por que usar
e não
?
- O Teorema Central do Limite diz que, para amostras grandes (n ≥ 30), a distribuição da média amostral tende a ser normal, mesmo sem saber σ.
- Então a gente usa a estatística
que, sob H₀, segue aproximadamente a Normal Padrão
.
Passo 4
Vamos calcular o
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo
Passo 5
Valores críticos para
em teste bilateral:
- Como a Normal Padrão tem 2,5% em cada cauda, os pontos são
.
Região de rejeição:ou .
Passo 6
Comparando: nosso
é maior que
.
Isso significa que o resultado cai na região de rejeição da H₀.
Isso significa que o resultado cai na região de rejeição da H₀.
Passo 7
Se quiser o p-valor:
Como
, confirma a rejeição de H₀.
Resposta
Rejeitamos H₀ ao nível de 5%. Ou seja, há evidências estatísticas de que a média populacional não é 75 (p-valor ≈ 0,046).