Teste a afirmação de que a média populacional é mu=75, dada uma amostra de n=100 para a qual barchi=78 e s=15. Faça o teste ao nível alpha=0,05 de significância.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer testar se a média da população é mesmo μ₀ = 75, usando uma amostra de tamanho n = 100, média amostral bar x = 78 e desvio padrão amostral s = 15, com nível de significância alpha = 0,05.
Conteúdo: teste de hipóteses para a média populacional.
O que precisamos:
  1. Definir hipóteses nula e alternativa.
  2. Escolher o tipo de teste (aqui vai ser bilateral porque estamos testando “é igual a 75?”).
  3. Usar o Teorema Central do Limite pra aproximar a distribuição da média por uma normal padrão (já que n = 100 é grande).
  4. Calcular o estatístico de teste z = bar x - mu0s/raizn.
  5. Comparar com os valores críticos (ou calcular p-valor).

Passo 2

Hipóteses:
H₀: mu = 75 (a média é 75)
H₁: mu neq 75 (a média não é 75)
Como H₁ é “diferente de”, o teste é bilateral – a gente vai olhar as duas caudas da normal.

Passo 3

Por que usar z e não t?
  • O Teorema Central do Limite diz que, para amostras grandes (n ≥ 30), a distribuição da média amostral tende a ser normal, mesmo sem saber σ.
  • Então a gente usa a estatística
z ;=;bar x - mu0s/raizn
que, sob H₀, segue aproximadamente a Normal Padrão N(0,1).

Passo 4

Vamos calcular o z:
  • Numerador: bar x - mu0 = 78 - 75 = 3.
  • Denominador: s/raizn = 15/raiz100 = 15/10 = 1,5.
    Logo
z = 31,5 = 2,0

Passo 5

Valores críticos para alpha = 0,05 em teste bilateral:
  • Como a Normal Padrão tem 2,5% em cada cauda, os pontos são pm z0,975 = pm 1,96.
    Região de rejeição: z < -1,96 ou z > +1,96.

Passo 6

Comparando: nosso z = 2,0 é maior que 1,96.
Isso significa que o resultado cai na região de rejeição da H₀.

Passo 7

Se quiser o p-valor:
p-valor = 2l(1 - Phi(2,0)r)approx 2,(1 - 0,9772) = 2,(0,0228) = 0,0456
Como 0,0456 < 0,05, confirma a rejeição de H₀.

Resposta

Rejeitamos H₀ ao nível de 5%. Ou seja, há evidências estatísticas de que a média populacional não é 75 (p-valor ≈ 0,046).

Exercícios relacionados