Considere a seguinte função:
p(x)=2 x+125, x=0,1,2,3,4
Verifique que ela é, de fato, uma função de probabilidade, e calcule:
P(2 <= X<4)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por $ p(x) = \frac{2x + 1}{25} $ para $ x = 0, 1, 2, 3, 4 $. O que precisamos fazer aqui é duas coisas:
  1. Verificar se essa função é realmente uma função de probabilidade.
  2. Calcular a probabilidade de $ 2 \leq X < 4 $, ou seja, $ P(2 \leq X < 4) $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade discreta e como verificar se uma função é uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ p(x) $ é uma função de probabilidade. Para isso, precisamos checar dois pontos importantes:
  1. Não-negatividade: Todos os valores de $ p(x) $ devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. Soma total igual a 1: A soma de todas as probabilidades para todos os valores possíveis de $ x $ deve ser igual a 1.
Vamos começar verificando a não-negatividade.

Passo 3

Vamos calcular $ p(x) $ para cada valor de $ x $:
  • Para $ x = 0 $:
    p(x)
  • Para $ x = 1 $:
    x
  • Para $ x = 2 $:
    x = 0
  • Para $ x = 3 $:
    p(0) = 2(0) + 125 = 125
  • Para $ x = 4 $:
    x = 1
Todos os $ p(x) $ são positivos, então a não-negatividade está ok.

Passo 4

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para ver se a soma dá 1:
p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 125 + 325 + 525 + 725 + 925
Somando os numeradores:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Então,
2525 = 1
A soma total é 1, então a segunda condição também está satisfeita. Portanto, $ p(x) $ é uma função de probabilidade.

Passo 5

Agora que sabemos que $ p(x) $ é uma função de probabilidade válida, vamos calcular $ P(2 \leq X < 4) $.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. A notação $ 2 \leq X < 4 $ inclui os valores de $ X $ que são maiores ou iguais a 2 e menores que 4. Como $ X $ só pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4, os valores que satisfazem essa condição são $ X = 2 $ e $ X = 3 $.
Então,
p(x)
Substituindo os valores que calculamos:
P(2 <= X < 4)
Portanto,
2 <= X < 4

Resposta

A probabilidade $ P(2 \leq X < 4) $ é $ \frac{12}{25} $.

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