Dada a distribuição de Maxwell, demonstre que <v>=(8 R T / pi M)^1 / 2 (<v> é a velocidade média) e v^*=(2 RT / M)^1 / 2 ( v^* é a velocidade mais provável).

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição de velocidades de Maxwell para moléculas de massa molar M a temperatura T. Precisamos usar teoria cinética dos gases para:
bul<=t calcular a velocidade média
lang<= vrang<= = integral0^infty v,f(v),dv
bul<=t determinar a velocidade mais provável v^* que maximiza f(v).
Aqui
f(v) = 4pi l(M2pi R Tr)^3/2 v^2 exp!l(-tfracM v^22RTr)
é a densidade de probabilidade de achar velocidade entre v e v+dv.

Passo 2

Montamos o integral para lang<= vrang<=:
lang<= vrang<= = integral0^infty v ,f(v),dv =4pi l(M2pi RTr)^3/2 integral0^infty v^3 exp!l(-tfracM v^22RTr)dv
Para avaliar usamos a fórmula
integral0^infty x^n e^-a x^2,dx =12,a^-n+12Gamma!l(tfracn+12r)
Aqui n=3 e a=tfracM2RT.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Gamma:
integral0^infty v^3 e^-M2RTv^2dv =12l(M2RTr)^-2Gamma(2) =12l(2RTMr)^2cdot 1! =12l(2RTMr)^2
Substituindo em lang<= vrang<=:
lang<= vrang<= =4pil(M2pi RTr)^3/2,12l(2RTMr)^2
Simplificando fatores de pi, M e RT chega-se a
lang<= vrang<==raiz8RTpi M

Passo 4

Para achar a velocidade mais provável v^* maximizamos f(v). Como
f(v)propto v^2 e^-b v^2, b=M2RT,
tomamos df/dv=0. Em termos de g(v)=ln f(v)=2ln v - b v^2:
dgdv =2v-2b v =0 ;Longrightarrow;v^2=1b

Passo 5

Substituindo b=tfracM2RT obtemos
v^*=raiz1b =raiz2RTM

Resposta

lang<= vrang<==raiz8RTpi M v^*=raiz2RTM

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