Dada a distribuição de Maxwell, justifique em termos matemáticos porque (a) é muito pouco provável que partículas pesadas adquiram altas velocidades e (b) porque a probabilidade das partículas terem velocidades muito baixas ou muito altas é muito baixa.
Passo 1
O enunciado pede para usar a forma matemática da distribuição de velocidades de Maxwell para mostrar por que
- (a) partículas com massa maior têm probabilidade muito baixa de atingir velocidades altas;
- (b) em geral as partículas têm probabilidade muito baixa de estarem em velocidades extremamente baixas ou extremamente altas.
O conteúdo envolve escrever a densidade de probabilidadee analisar seu comportamento em e , além de ver o papel da massa .
Passo 2
A densidade de probabilidade da velocidade escalar
é
onde
é a massa da partícula,
a temperatura e
a constante de Boltzmann. Podemos escrever
, de modo que
com
.
Passo 3
Para partículas pesadas a constante
cresce linearmente com
. No regime de altas velocidades (
grande) o termo dominante é o exponencial:
Como
aumenta com
, o fator
decai muito mais rápido quando
é grande. Logo, o “talo” da distribuição fica muito mais curto e a probabilidade de
alto é praticamente nula para massas grandes.
Passo 4
Examinando
, temos
O fator
anula
na origem, mostrando que velocidades muito baixas também têm probabilidade quase zero.
Passo 5
Analisando
, o termo exponencial domina e faz
Portanto, velocidades muito altas também são altamente improváveis, independentemente de
.
Resposta
(a) Porque para massas maiores a constante
cresce, fazendo o fator
decair muito rápido em altas
.
(b) Porque quando
(devido ao fator
) e também quando
(devido ao exponencial
).
(b) Porque