Dada a distribuição de Maxwell, justifique em termos matemáticos porque (a) é muito pouco provável que partículas pesadas adquiram altas velocidades e (b) porque a probabilidade das partículas terem velocidades muito baixas ou muito altas é muito baixa.

Passo 1

O enunciado pede para usar a forma matemática da distribuição de velocidades de Maxwell para mostrar por que
  • (a) partículas com massa maior têm probabilidade muito baixa de atingir velocidades altas;
  • (b) em geral as partículas têm probabilidade muito baixa de estarem em velocidades extremamente baixas ou extremamente altas.
    O conteúdo envolve escrever a densidade de probabilidade f(v) e analisar seu comportamento em vto0 e vtoinfty, além de ver o papel da massa m.

Passo 2

A densidade de probabilidade da velocidade escalar v é
f(v) ;=; 4pi l(m2pi kTr)^!3/2 v^2 exp!l(-tfracm v^22kTr),
onde m é a massa da partícula, T a temperatura e k a constante de Boltzmann. Podemos escrever alpha = tfracm2kT, de modo que
f(v) = C,v^2 e^-alpha v^2,
com C=4pi(tfracm2pi kT)^3/2.

Passo 3

Para partículas pesadas a constante alpha = tfracm2kT cresce linearmente com m. No regime de altas velocidades ( v grande) o termo dominante é o exponencial:
f(v)sim v^2 e^-alpha v^2
Como alpha aumenta com m, o fator e^-alpha v^2 decai muito mais rápido quando m é grande. Logo, o “talo” da distribuição fica muito mais curto e a probabilidade de v alto é praticamente nula para massas grandes.

Passo 4

Examinando vto0, temos
f(v)sim C,v^2quando vto0
O fator v^2 anula f(v) na origem, mostrando que velocidades muito baixas também têm probabilidade quase zero.

Passo 5

Analisando vtoinfty, o termo exponencial domina e faz
f(v)sim v^2 e^-alpha v^2;longrightarrow;0
Portanto, velocidades muito altas também são altamente improváveis, independentemente de m.

Resposta

(a) Porque para massas maiores a constante alpha = m/(2kT) cresce, fazendo o fator e^-alpha v^2 decair muito rápido em altas v.
(b) Porque f(v)to0 quando vto0 (devido ao fator v^2) e também quando vtoinfty (devido ao exponencial e^-alpha v^2).

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