Usando a distribuição de velocidades de Maxwell, estimar a fração de moléculas de N2 que, a 500 K , têm velocidade entre 290 e 300 m s^-1. Para resolver este exercício, considerar o valor médio para a faixa de velocidade (ex: v = (200+250/2) = 225 m / s, no caso do item a)

Passo 1

O enunciado pede a fração de moléculas de N2 a T=500 K cuja velocidade v está no intervalo [290,300] m/s. Vamos usar a distribuição de velocidades de Maxwell e a aproximação
fraçãoapprox f(vrm médio),De<a v, çãé
onde
vrm médio=290+3002=295 m/s, é
e De<a v=300-290=10 m/s.

Passo 2

A massa de uma molécula de N2 é
m=MNA =28times10^-3,kg/mol6,022times10^23,mol^-1 approx4,65times10^-26,kg

Passo 3

A distribuição de velocidades de Maxwell em v é
f(v) =4pil(m2pi kB Tr)^3/2v^2 exp!l(-m v^22kB Tr),
onde kB=1,38times10^-23,J/K e T=500,K.

Passo 4

Calculemos a constante
A=4pil(m2pi kB Tr)^3/2
Primeiro
2pi kB T=2pitimes1,38times10^-23times500 approx4,33times10^-20,J,
m2pi kB Tapprox4,65times10^-264,33times10^-20 approx1,07times10^-6,
l(m2pi kB Tr)^3/2approx(1,07times10^-6)^3/2 approx1,11times10^-9,
A=4pitimes1,11times10^-9approx1,40times10^-8,s/m

Passo 5

Agora avaliamo f(v) em v=295,m/s:
v^2=295^2approx8,70times10^4 m^2/s^2,
m v^22kB T approx3,37times10^-6times8,70times10^4 approx0,29, exp(-0,29)approx0,75
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f(295)approx1,40times10^-8times8,70times10^4times0,75 approx9,1times10^-4,s/m

Passo 6

Usando De<a v=10,m/s, a fração de moléculas no intervalo é
fraçãoapprox f(295),De<a v approx9,1times10^-4times10 =9,1times10^-3, çã
ou seja cerca de 0,91% das moléculas.

Resposta

Aproximadamente 0,0091 (isto é, 0,91%).

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