Dada a ED: 2 x y d x+(x^2-1) d y=0.
(RA1-1,0) Mostre que a ED é exata:
(RA1-2,0) Resolva a ED como uma ED exata.
(RA2 3,0) Verifique se y=c1-x^2 é solução da ED…

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x,y,dx + (x^2 - 1),dy = 0
e pede (1) mostrar que ela é exata, (2) resolvê-la via potencial phi(x,y) e (3) verificar que
y = c1 - x^2
satisfaz a equação. Vamos usar o método de equações exatas, que requer identificar
M(x,y) = 2x,y, N(x,y) = x^2 - 1
e checar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2x,y) = 2x,
partial Npartial x = partialpartial x(x^2 - 1) = 2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) = 2x,y
Integramos em x:
phi(x,y) = integral 2x,y,dx = x^2,y + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial phipartial y = x^2 + h'(y) ;stackrel!=; N(x,y) = x^2 - 1
Logo
h'(y) = -1 Longrightarrow h(y) = -y
Assim
phi(x,y) = x^2,y - y,
e a solução implícita geral é
phi(x,y) = C ;Longrightarrow; x^2,y - y = C ;Longrightarrow; y,(x^2 - 1) = C

Passo 5

Vamos verificar que
y = c1 - x^2
satisfaz a ED original. Calculamos
dy = ddxl(c1 - x^2r),dx = ccdotl(-(1 - x^2)^-2r)cdot(-2x),dx = 2c,x(1 - x^2)^2,dx
Substituindo em 2x,y,dx + (x^2-1),dy:
2xcdotc1 - x^2,dx + (x^2-1)cdot2c,x(1 - x^2)^2,dx = 2c,x1 - x^2,dx + 2c,x,(x^2-1)(1 - x^2)^2,dx
Como x^2-1=-(1-x^2), o segundo termo é
-2c,x1-x^2,dx,
portanto a soma dá zero e a ED é satisfeita.

Resposta

A equação é exata porque
partial M/partial y=partial N/partial x=2x.
A solução geral, obtida de phi(x,y)=C, é
x^2,y - y = C Long<=ftrightarrow y = Cx^2 - 1
Além disso, y = dfracc1 - x^2 satisfaz a equação original.

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