Dada a ED:
.
(RA1-1,0) Mostre que a ED é exata:
(RA1-2,0) Resolva a ED como uma ED exata.
(RA2 3,0) Verifique se
é solução da ED…
(RA1-1,0) Mostre que a ED é exata:
(RA1-2,0) Resolva a ED como uma ED exata.
(RA2 3,0) Verifique se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (1) mostrar que ela é exata, (2) resolvê-la via potencial
e (3) verificar que
satisfaz a equação. Vamos usar o método de equações exatas, que requer identificar
e checar se
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integramos em
:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Logo
Assim
e a solução implícita geral é
Passo 5
Vamos verificar que
satisfaz a ED original. Calculamos
Substituindo em
:
Como
, o segundo termo é
,
portanto a soma dá zero e a ED é satisfeita.
portanto a soma dá zero e a ED é satisfeita.
Resposta
A equação é exata porque
.
A solução geral, obtida de , é
A solução geral, obtida de
Além disso,
satisfaz a equação original.