Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
2^n5^n+2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an definida por
an = 2^n5^n+2
O conteúdo envolve reconhecer uma progressão geométrica e usar o critério de convergência de sequências geométricas para achar o limite.

Passo 2

Reescrevendo a expressão, temos
an = 2^n5^n+2 = 2^n5^n cdot 5^2 = 125,l(25r)^n
Portanto an é uma progressão geométrica do tipo c,r^n com c = 1/25 e razão r = 2/5.

Passo 3

Para uma PG c,r^n, se |r|<1 então limntoinftyc,r^n = 0. Aqui l|2/5r|<1, logo
limntoinftyan = limntoinfty125,l(25r)^n = 0
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty 2^n5^n+2 = 0

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