Exercício 2.31. Use o Teste da Raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(7 n+38 n+9)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty(7n+38n+9)^n
é convergente ou divergente, usando o Teste da Raiz. Aqui o conteúdo-chave é o Teste da Raiz e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Recordando o Teste da Raiz: seja an o termo geral da série. Definimos
L ;=; limntoinftyraiz[n]l|anr|
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge). Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

No nosso caso
an = (7n+38n+9)^n,
então
raiz[n]l|anr| ;=;7n+38n+9

Passo 4

Calculamos o limite de
raiz[n]|an|:
limntoinfty7n+38n+9 =limntoinfty(7 + 3/n)limntoinfty(8 + 9/n) =78
Como tfrac78<1, segue que L=tfrac78<1.

Passo 5

Pelo Teste da Raiz, como L<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(tfrac7n+38n+9r)^n converge absolutamente.

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