Exercício 2.31. Use o Teste da Raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, usando o Teste da Raiz. Aqui o conteúdo-chave é o Teste da Raiz e cálculo de limite de sequência.
Passo 2
Recordando o Teste da Raiz: seja
o termo geral da série. Definimos
Se
L<1 , a série converge absolutamente (logo converge). Se
L>1 , a série diverge. Se
L=1 , o teste não é conclusivo.
Passo 3
No nosso caso
então
Passo 4
Calculamos o limite de
raiz[n]|an| :
Como
tfrac78<1 , segue que
L=tfrac78<1 .
Passo 5
Pelo Teste da Raiz, como
L<1 , a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série
sumn=1^inftyl(tfrac7n+38n+9r)^n converge absolutamente.