Dada a EDO de 1ª ^ a Ordem
2 x y d yd x-y^2+x=0, x neq 0
Resolva tal EDO pelo método de solução de EDO de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem 2x y dydx - y^2 + x = 0, vamos resolver pelo método de Bernoulli. Precisamos reescrever na forma padrão de Bernoulli e usar a substituição apropriada.

Passo 2

Dividindo a equação original por 2x (com xneq0), isolamos dydx e obtemos a forma de Bernoulli:
[ dydx - 12xy = -12y ]
Aqui reconhecemos que o expoente de Bernoulli é n=-1.

Passo 3

Como n=-1, fazemos a substituição
[ z = y^1-(-1) = y^2 ]
Diferenciando,
[ dzdx = 2ydydx ]
Substituindo na forma rearranjada da EDO original, chegamos a uma equação linear em z:
[ xdzdx - z = -x ]

Passo 4

Para resolver a EDO linear
[ dzdx - 1xz = -1, ]
calculamos o fator integrante
[ mu(x) = expl(integral -1xdxr) = 1x ]
Multiplicando, obtemos
[ ddxl(zxr) = -1x ]
Integrando, vem
[ zx = -ln|x| + C Longrightarrow z = Cx - xln|x| ]

Passo 5

Voltando à variável original y, temos
[ y^2 = z = Cx - xln|x| ]

Resposta

A solução geral é dada por
[ y^2 = Cx - xln|x| ]
ou equivalentemente
[ y = pmraizCx - xln|x| ]

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