Dada a EDO de 1ª Ordem
x d yd x-4 y=x^6 e^x
Resolva tal EDO.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem
xdydx-4y = x^6 e^x
que é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos transformá-la na forma padrão e usar fator integrador para achar a solução geral.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por x (assumindo xneq0) para colocar na forma padrão
dydx-4xy = x^5 e^x .

Passo 3

Calculamos o fator integrador mu(x) como
mu(x) = expgl(-integral 4x,dxgr) = exp(-4ln|x|) = x^-4

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-4. O lado esquerdo fica derivada do produto:
x^-4dydx -4x^-5y = ddxl(x^-4yr)
e o lado direito é
x^-4cdot x^5 e^x = x e^x
Então
ddxl(x^-4yr) = x e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x^-4yr),dx = integral x e^x,dx
A integral de x e^x é
integral x e^x,dx = (x-1)e^x + C,
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x^-4y = (x-1)e^x + C

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x^4:
y = x^4l((x-1)e^x + Cr) = x^4(x-1)e^x + Cx^4

Resposta

y = x4(x-1)ex + Cx^4

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